로그 포함 실근 개수

[출제의도] 미분법을 이용하여 방정식이 서로 다른 실근의 개수가 $2$일 조건을 구할 수 있는가 $x ^{2} - 5 x + 2 \ln x = t$에서 $f \left( x \right) = x ^{2} - 5 x + 2 \ln x$라 하면 $f' \left( x \right)$$\displaystyle = 2 x - 5 + \frac{2}{x}$$\displaystyle = \frac{2 x ^{2} - 5 x + 2}{x}$$\displaystyle = \frac{\left( 2 x - 1 \right) \left( x - 2 \right)}{x}$ 따라서 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

이때 함수 $f \left( x \right)$의 극댓값은 $\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right)$$\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} - 5 \times \frac{1}{2} + 2 \ln \frac{1}{2}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{9}{4} - 2 \ln 2$ 극솟값은 $f \left( 2 \right)$$= 2 ^{2} - 5 \times 2 + 2 \ln 2$$= \mathit{-} 6 + 2 \ln 2$ 이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

이때 $x$에 대한 방정식 $x ^{2} - 5 x + 2 \ln x = t$이 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되기 위해서는 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수가 $2$가 되어야 하므로 $\displaystyle t = \mathit{-} \frac{9}{4} - 2 \ln 2$ 또는 $t = \mathit{-} 6 + 2 \ln 2$ 따라서 모든 실수 $t$의 값의 합은 $\displaystyle \left( - \frac{9}{4} - 2 \ln 2 \right) + \left( - 6 + 2 \ln 2 \right) = \mathit{-} \frac{33}{4}$