대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

로그·지수함수 그래프 조건과 수열

문제

n≥2n \geq 2인 자연수 nn에 대하여 직선 x=nx = n이 함수 y=log⁡12(2x−m)\displaystyle y = \log _{\frac{1}{2}} \left( 2 x - m \right)의 그래프와 한 점에서 만나고, 직선 y=ny = n이 함수 y=∣2−x−m∣y = \left| 2 ^{- x} - m \right|의 그래프와 두 점에서 만나도록 하는 모든 자연수 mm의 값의 합을 ana _{n}이라 하자. ∑n=5101an\displaystyle \sum\limits _{n = 5} ^{10} \frac{1}{a _{n}}의 값은? [5점] ①110\displaystyle \frac{1}{10}②120\displaystyle \frac{1}{20}③130\displaystyle \frac{1}{30}④140\displaystyle \frac{1}{40}⑤150\displaystyle \frac{1}{50}

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①

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해설

로그함수의 정의역 및 점근선으로부터 m2<n\displaystyle \frac{m}{2} < n 지수함수의 점근선으로부터 n<mn < m 따라서 n<m<2nn < m < 2 n 이므로 an=(n+1)+(n+2)+⋯+(2n−1)=32n(n−1)\displaystyle a _{n} = ( n + 1 ) + ( n + 2 ) + \cdots + ( 2 n - 1 ) = \frac{3}{2} n ( n - 1 ) 1an=23(1n−1−1n)\displaystyle \frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \right) ∴∑n=5101an=23(14−110)=110\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 5} ^{10} \frac{1}{a _{n}} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{10}

태그

#로그함수#지수함수#수열의 합

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