로그·지수 그래프 교점

$a > 1$이므로 $x < 0$에서, 함수 $f \left( x \right)$는 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다. $x \geq 0$에서 함수 $f \left( x \right)$는 $x$의 값이 증가하면 $y$의 값은 감소하고 곡선 $y = a ^{- x} + b$의 점근선의 방정식은 $y = b$이다. 이때 조건 (가)에 의하여 $g \left( t \right) = 4$인 실수 $t$가 존재하므로, $y = f \left( x \right)$의 그래프가 $x$축과 두 점에서 만나야 한다. 따라서 $b < 0$이고 $b + 1 > 0$, 즉 $- 1 < b < 0$이므로 함수 $y = \left| f \left( x \right) \left| \right. \right.$의 그래프는 다음과 같은 개형을 갖는다.

이때 $b + 1 > - b$, 즉 $\displaystyle - \frac{1}{2} < b < 0$이면, $t = - b$일 때 $g \left( - b \right) = 3$이 되어 조건 (나)에 모순이고 $b + 1 < - b$, 즉 $\displaystyle - 1 < b < - \frac{1}{2}$이면, $t = b + 1$일 때 $g \left( b + 1 \right) = 3$이 되어 조건 (나)에 모순이다. 따라서 조건 (나)에 의하여 $b + 1 = - b$이어야 하므로 $2 b = - 1$에서 $\displaystyle b = - \frac{1}{2}$ 이때 함수 $g \left( t \right)$는 다음과 같으므로 $g \left( t \right) = 2$를 만족시키는 $t$의 최댓값은 $\displaystyle c = \frac{1}{2}$이다. $\displaystyle g \left( t \right) = {\begin{cases} 0 & & \left( t < 0 \right) \\ 2 & & \left( t = 0 \right) \\ 4 & & \left( 0 < t < \frac{1}{2} \right) \\ 2 & & \left( t = \frac{1}{2} \right) \\ 1 & & \left( t > \frac{1}{2} \right) \end{cases}}$ 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$과 함수 $y = \left| f \left( x \right) \left| \right. \right.$의 그래프가 만나는 점의 $x$좌표를 구하면 $x = 0$일 때, $\displaystyle \left| f \left( 0 \right) \right| = \left| 1 - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}$이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0 , \frac{1}{2} \right)$이다.

$x < 0$에서 방정식 $\displaystyle f \left( x \right) = - \frac{1}{2}$의 해를 구하면 $\displaystyle - \log _{a} \left( - x + \frac{1}{a} \right) - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$ $\displaystyle - \log _{a} \left( - x + \frac{1}{a} \right) = 0$, $\displaystyle - x + \frac{1}{a} = 1$ $\displaystyle x = \frac{1}{a} - 1$ 따라서 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\mathit{a}} - 1 , \frac{1}{2} \right)$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \left| \frac{1}{\mathit{a}} - 1 \right| = 1 - \frac{1}{a}$이므로 삼각형 ${\mathrm{OAB}}$의 넓이는 $\triangle \mathrm{OAB}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \left( 1 - \frac{1}{a} \right)$ 에서 $\displaystyle \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) = \frac{3}{20}$, $\displaystyle \frac{1}{a} = \frac{2}{5}$ $\displaystyle \therefore a = \frac{5}{2}$ $\displaystyle \therefore a + b = \frac{5}{2} + \left( - \frac{1}{2} \right) = 2$