로그 절댓값 함수의 극솟값

[출제의도] 미분과 주어진 조건을 이용하여 조건을 만족시키는 함수를 구할 수 있는가? 함수 $f \left( x \right)$는 최고차항이 양수인 삼차함수이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 $x$축은 적어도 한 점에서 만난다. 조건 (가)에서 함수 $g \left( x \right)$가 $x \ne 1$인 모든 실수 $x$에서 연속이므로 $\displaystyle {\begin{cases} x = 1 \text{일} \text{때} , f \left( 1 \right) = 0 & \\ x \ne 1 \text{일} \text{때} , f \left( x \right) \ne 0 & \end{cases}}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편, $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} \ln \left| f \left( x \right) \right| & & & & \left( f \left( x \right) \ne 0 \right) \\ 1 & & & & \left( f \left( x \right) = 0 \right) \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{f' \left( x \right)}{f \left( x \right)} \left( f \left( x \right) \ne 0 \right)$ 이때, 조건 (나)에서 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 2$에서 극값을 가지고 ㉠을 만족해야 하므로 $f' \left( 2 \right) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ 한편, 조건 (다)에서 주어진 방정식 $g \left( x \right) = 0$ 은 $\ln \left| f \left( x \right) \right| = 0$ $\left| f \left( x \right) \right| = 1$ $f \left( x \right) = - 1$ 또는 $f \left( x \right) = 1$ 이때, 이 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖고 ㉠을 만족하려면 함수 $y = f \left( x \right)$는 극값을 가져야 한다. 한편, ㉡으로부터 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극값을 가지므로 $f' \left( \alpha \right) = f' \left( \beta \right) = 0$ $\left( 1 < \alpha < \beta \right)$ 로 놓을 수 있다. 이때, $\alpha = 2$이거나 $\beta = 2$이다. 이때, 조건 (다)를 만족시키는 함수 $f \left( x \right)$의 그래프와 $g \left( x \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다. (ⅰ)

(ⅱ)

이때, 조건 (나)로부터 $g \left( x \right)$가 $x = 2$에서 극대이고 $\left| g \left( x \right) \right|$가 $x = 2$에서 극소이기 위해서는 그림 (ⅰ)과 같아야 하고 $\alpha = 2$ 이때, 함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) - 1 = \frac{1}{2} \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - k \right)$ $( k$는 상수$)$ 즉, $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - k \right) + 1$이고 ㉠에서 $f \left( 1 \right) = 0$이므로 $\displaystyle f \left( 1 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - k \right) + 1 = 0$ $1 - k = - 2$ $k = 3$ 이때, $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) + 1$ 이므로 $f' \left( x \right)$$\displaystyle = \left( x - 2 \right) \left( x - 3 \right) + \frac{1}{2} \left( x - 2 \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( x - 2 \right) \left\{ \left( 2 x - 6 \right) + \left( x - 2 \right) \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( x - 2 \right) \left( 3 x - 8 \right)$ 이때, $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 2$ 또는 $\displaystyle x = \frac{8}{3}$ 그러므로 $\displaystyle \beta = \frac{8}{3}$ 따라서 함수 $g \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \frac{8}{3}$에서 극솟값을 갖고 그 값은 $\displaystyle \ln \left| f \left( \frac{8}{3} \right) \right|$$\displaystyle = \ln \left| \frac{1}{2} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \times \left( - \frac{1}{3} \right) + 1 \right|$$\displaystyle = \ln \frac{25}{27}$