로그 제곱 합성함수

$h \left( x \right) = \left\{ \ln \left( \left| x \right| + p \right) \right\} ^{2}$라 하자. $\displaystyle h \left( x \right) = {\begin{cases} \left\{ \ln \left( - x + p \right) \right\} ^{2} & & \left( x < 0 \right) \\ \left\{ \ln \left( x + p \right) \right\} ^{2} & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{h \left( x \right) - h \left( 0 \right)}{x - 0}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{\left\{ \ln \left( - x + p \right) \right\} ^{2} - \left( \ln p \right) ^{2}}{x}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{\ln \left( 1 - \frac{x}{p} \right) \times \left\{ \ln \left( - x + p \right) + \ln p \right\}}{x}}$ $\displaystyle = - \frac{1}{p} \times 2 \ln p$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{h \left( x \right) - h \left( 0 \right)}{x - 0}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{\left\{ \ln \left( x + p \right) \right\} ^{2} - \left( \ln p \right) ^{2}}{x}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{\ln \left( 1 + \frac{x}{p} \right) \times \left\{ \ln \left( x + p \right) + \ln p \right\}}{x}}$ $\displaystyle = \frac{1}{p} \times 2 \ln p$ 따라서 $p \ne 1$이면 함수 $h \left( x \right)$가 $x = 0$에서 미분가능하지 않다. 삼차함수 $f \left( x \right)$가 최고차항의 계수가 $1$이므로 어떤 실수 $a$에 대하여 $f \left( a \right) = 0$, $f' \left( a \right) > 0$이다. 함수 $g \left( x \right) = h \left( f \left( x \right) \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x = a$에서 미분가능하다.

어떤 실수 $d$에 대하여 $a - d < x < a$이면 $f \left( x \right) < 0$, $a < x < a + d$이면 $f \left( x \right) > 0$이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} {\frac{g \left( x \right) - g \left( a \right)}{x - a}}$에서 $f \left( x \right) = t$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {\frac{g \left( x \right) - g \left( a \right)}{x - a}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 -} {\frac{h \left( t \right) - h \left( 0 \right)}{t - 0}} \times \lim\limits _{x \rightarrow a -} {\frac{f \left( x \right) - f \left( a \right)}{x - a}}$$\displaystyle = - \frac{2 \ln p}{p} \times f' \left( a \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{g \left( x \right) - g \left( a \right)}{x - a}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {\frac{h \left( t \right) - h \left( 0 \right)}{t - 0}} \times \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{f \left( x \right) - f \left( a \right)}{x - a}}$$\displaystyle = \frac{2 \ln p}{p} \times f' \left( a \right)$ $\displaystyle - \frac{2 \ln p}{p} \times f' \left( a \right) = \frac{2 \ln p}{p} \times f' \left( a \right)$이고 $f' \left( a \right) \ne 0$이므로 $\ln p = 0$, $p = 1$ $\displaystyle h \left( x \right) = \left\{ \ln \left( \left| x \right| + 1 \right) \right\} ^{2} = {\begin{cases} \left\{ \ln \left( - x + 1 \right) \right\} ^{2} & & \left( x < 0 \right) \\ \left\{ \ln \left( x + 1 \right) \right\} ^{2} & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ $\displaystyle h' \left( x \right) = {\begin{cases} \frac{2 \ln \left( 1 - x \right)}{x - 1} & & \left( x < 0 \right) \\ \frac{2 \ln \left( 1 + x \right)}{x + 1} & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ 따라서 함수 $h \left( x \right)$는 $x < 0$에서 감소하고 $x > 0$에서 증가한다. 미분가능한 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 2$에서 극대이므로 $g' \left( 2 \right) = 0$ $g' \left( x \right) = h' \left( f \left( x \right) \right) f' \left( x \right)$이므로 $h' \left( f \left( 2 \right) \right) = 0$ 또는 $f' \left( 2 \right) = 0$ 방정식 $h' \left( x \right) = 0$의 실근이 $x = 0$뿐이므로 $f \left( 2 \right) = 0$ 또는 $f' \left( 2 \right) = 0$ 이때 $f \left( 2 \right) = 0$이면 $g \left( 2 \right) = h \left( f \left( 2 \right) \right) = 0$이고 $g \left( x \right) \geq 0$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 2$에서 최솟값을 가진다. 이는 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 2$에서 극대라는 조건과 모순이다. 따라서 $f' \left( 2 \right) = 0$이고 $f \left( 2 \right) \ne 0$이다. $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - k \right) + f \left( 2 \right)$ ($k$는 $2$가 아닌 실수) $f' \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( 3 x - 2 k - 2 \right)$, $f'' \left( x \right) = 2 \left( 3 x - k - 4 \right)$ $f \left( 2 \right) \ne 0$이므로 $g'' \left( 2 \right) = h'' \left( f \left( 2 \right) \right) \left\{ f' \left( 2 \right) \right\} ^{2} + h' \left( f \left( 2 \right) \right) f'' \left( 2 \right) = h' \left( f \left( 2 \right) \right) f'' \left( 2 \right)$ 이고 $f'' \left( 2 \right) = 2 \left( 2 - k \right) \ne 0$이므로 $g'' \left( 2 \right) \ne 0$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 2$에서 극대이므로 $g'' \left( 2 \right) < 0$ 따라서 $k < 2$이면 $f'' \left( 2 \right) > 0$, $h' \left( f \left( 2 \right) \right) < 0$이므로 $f \left( 2 \right) < 0$ $k > 2$이면 $f'' \left( 2 \right) < 0$, $h' \left( f \left( 2 \right) \right) > 0$이므로 $f \left( 2 \right) > 0$ (ⅰ) $k < 2$, $f \left( 2 \right) < 0$일 때 방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 실근은 $x = 2$ 또는 $\displaystyle x = \frac{2 k + 2}{3}$ $k < 2$이므로 $\displaystyle \frac{2 k + 2}{3} < 2$ 방정식 $g' \left( x \right) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지므로 $h' \left( f \left( x \right) \right) \times f' \left( x \right) = 0$을 만족시키는 실수 $x$의 개수는 $3$이다. 즉, $f \left( x \right) = 0$ 또는 $f' \left( x \right) = 0$을 만족시키는 실수 $x$의 개수가 $3$이므로 다음 그림과 같이 함수 $f \left( x \right)$의 극댓값은 $0$보다 작거나 같다.

방정식 $f \left( x \right) = 0$의 실근 중 $2$보다 큰 근을 $\alpha$라 하면 방정식 $g' \left( x \right) = 0$의 세 실근은 크기순으로 $\displaystyle \frac{2 k + 2}{3}$, $2$, $\alpha$이고, 이 순서대로 공비가 $2$인 등비수열을 이루므로 $\alpha = 4$이고 $\displaystyle \frac{2 k + 2}{3} = 1$, $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - \frac{1}{2} \right) \left( x - 2 \right) ^{2} + f \left( 2 \right)$이고 $f \left( 4 \right) = 0$이므로 $f \left( 2 \right) = - 14$ 이때 $\displaystyle g \left( p \right) = g \left( 1 \right) = h \left( f \left( 1 \right) \right) = h \left( - \frac{27}{2} \right) \ne 0$이다. (ⅱ) $k > 2$, $f \left( 2 \right) > 0$일 때 방정식 $f' \left( x \right) = 0$의 실근은 $x = 2$ 또는 $\displaystyle x = \frac{2 k + 2}{3}$ $k > 2$이므로 $\displaystyle \frac{2 k + 2}{3} > 2$ 방정식 $g' \left( x \right) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지므로 $h' \left( f \left( x \right) \right) \times f' \left( x \right) = 0$을 만족시키는 실수 $x$의 개수는 $3$이다. 즉, $f \left( x \right) = 0$ 또는 $f' \left( x \right) = 0$을 만족시키는 실수 $x$의 개수가 $3$이므로 다음 그림과 같이 함수 $f \left( x \right)$의 극솟값은 $0$보다 크거나 같다.

: 방정식 $f \left( x \right) = 0$의 실근 중 $2$보다 작은 근을 $\alpha$라 하면 방정식 $g' \left( x \right) = 0$의 세 실근은 크기순으로 $\alpha$, $2$, $\displaystyle \frac{2 k + 2}{3}$이고, 이 순서대로 공비가 $2$인 등비수열을 이루므로 $\alpha = 1$이고 $\displaystyle \frac{2 k + 2}{3} = 4$, $k = 5$ 이때 $f \left( 1 \right) = 0$이므로 $g \left( p \right) = g \left( 1 \right) = h \left( f \left( 1 \right) \right) = 0$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - \frac{1}{2} \right) \left( x - 2 \right) ^{2} - 14$이므로 $\displaystyle f \left( p + 5 \right) = f \left( 6 \right) = \frac{11}{2} \times 4 ^{2} - 14 = 74$ [참고] 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f \left( x \right)$는 어떤 실수 $\alpha$에 대하여 $f \left( \alpha \right) = 0$이다. 따라서 $f \left( x \right) = \left( x - \alpha \right) g \left( x \right)$를 만족시키는 이차다항식 $g \left( x \right)$가 존재한다. 만약 $f' \left( \alpha \right) = 0$이면 $g \left( \alpha \right) = 0$이므로 $g \left( x \right) = A \left( x - \alpha \right) \left( x - \beta \right)$ ($A$는 양수)를 만족시키는 어떤 실수 $\beta$가 존재한다. 이때 $\beta = \alpha$이면 $g \left( x \right) = A \left( x - \alpha \right) ^{2}$, $f \left( x \right) = A \left( x - \alpha \right) ^{3}$이므로 삼차함수 $f \left( x \right)$가 극값을 가진다는 조건과 모순이다. 따라서 $\beta \ne \alpha$이고 $f \left( x \right) = A \left( x - \alpha \right) ^{2} \left( x - \beta \right)$이며, $f \left( \beta \right) = 0$, $f' \left( \beta \right) = A \left( \beta - \alpha \right) ^{2} > 0$이다. 따라서 삼차함수 $f \left( x \right)$가 극값을 가지면 어떤 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) = 0$, $f' \left( x \right) > 0$이다.