대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 그래프로 지수부등식

문제

두 함수 $y = x + 1$ 과 $y = 3 \log _{2} x$ 의 그래프를 이용하여 부등식 $2 ^{x+2} < ( x + 1 ) ^{3}$ 을 만족시키는 $x$ 의 범위를 구하면 $\alpha < x < \beta$ 이다. 이 때, $\alpha + \beta$ 의 값은? [4점]

① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$

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③

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프 성질을 이해하여 문제를 해결하기 $x + 1 < 3 \log _{2} x \leftrightarrow 2 ^{x + 1} < x ^{3}$ 이고 이를 만족하는 $x$ 의 범위는 그래프에서 $2 < x < 8$ 이다. 한편, 구하는 부등식은 $y = 2 ^{x + 1}$ , $y = x ^{3}$ 을 각각 $x$ 축 방향으로 $- 1$ 만큼 평행이동한 결과이므로 $2 ^{x + 2} < ( x + 1 ) ^{3}$ 를 만족시키는 $x$ 의 범위는 $1 < x < 7$ 이다. $\therefore \alpha + \beta = 8$

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