평행선 거리 적분

[출제의도] 삼각함수의 정적분을 활용하여 문제해결하기 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{2 - x ^{2}} \left( - 1 \leq x \leq 1 \right)$ 위의 양 끝점 $( - 1 , 1 ) , ( 1 , 1 )$을 각각 $\mathrm{P} , Q$라 하고, 직선 $l$의 $y$절편이 직선 $m$의 $y$절편보다 크다고 하자. 점 $\mathrm{P}$를 지나고 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{2 - x ^{2}}$에 접하는 접선이 $x$축과 양의 방향으로 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$이므로 (ⅰ) $\displaystyle 0 \leq \theta < \frac{\pi}{4}$일 때

$f ( \theta )$는 직선 $l$이 곡선과 접하고, 직선 $m$이 점 $\mathrm{Q}$를 지날 때 점 $\mathrm{Q}$와 직선 $l$ 사이의 거리이다. 곡선은 중심이 $( 0 , 0 )$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 원의 일부이므로 곡선과 접하는 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y = \tan \theta x + \sqrt{2} \sec \theta$이므로 $\displaystyle f ( \theta ) = \frac{\left| \tan \theta - 1 + \sqrt{2} \sec \theta \right|}{\sqrt{\tan ^{2} \theta + 1}}$ $\displaystyle = \sin \theta - \cos \theta + \sqrt{2}$($\sin \theta - \cos \theta \geq - 1$) (ⅱ) $\displaystyle \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$일 때

$f ( \theta )$는 직선 $l$이 점 $\mathrm{P}$를 지나고 직선 $m$이 점 $\mathrm{Q}$를 지날 때 점 $\mathrm{P}$와 직선 $m$ 사이의 거리와 같다. 즉, 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $m$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $f ( \theta )$는 선분 $\mathrm{PH}$의 길이와 같다. $\angle \mathrm{PQH} = \theta$이므로 $f ( \theta ) = 2 \sin \theta$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle f ( \theta ) = {\begin{cases} \sin \theta - \cos \theta + \sqrt{2} \left( 0 \leq \theta < \frac{\pi}{4} \right) & \\ 2 \sin \theta \left( \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \right) & \end{cases}}$ 함수 $f ( \theta )$는 닫힌 구간 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right]$에서 연속이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {f ( \theta ) d \theta}$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{4}} {( \sin \theta - \cos \theta + \sqrt{2} ) d \theta + \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} {2 \sin \theta d \theta}}$ $\displaystyle = \left[ - \cos \theta - \sin \theta + \sqrt{2} \theta \right] _{0} ^{\frac{\pi}{4}} + \left[ - 2 \cos \theta \right] _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}}$ $\displaystyle = 1 + \frac{\sqrt{2}}{4} \pi$ $a = 1$, $\displaystyle b = \frac{1}{4}$ 따라서 $20 ( a + b ) = 25$