포물선의 접선과 평행이동

$y ^{2} = 4 x$에 접하고 기울기가 $3$인 접선의 방정식을 $y = 3 x + a$라 하고, $\displaystyle x = \frac{y ^{2}}{4}$을 대입하면 $\displaystyle y = 3 \cdot \frac{y ^{2}}{4} + a$ $\rightarrow 3 y ^{2} - 4 y + 4 a = 0$에서 $\displaystyle \frac{D}{4} = 4 - 12 a = 0$ $\displaystyle \therefore a = \frac{1}{3}$ 즉, 접선의 방정식은 $\displaystyle y = 3 x + \frac{1}{3} \cdots \cdots \text{①}$ $y = 3 x + 2$를 $x$축의 방향으로 $k$만큼 평행 이동시키면, $y = 3 ( x - k ) + 2$$= 3 x - 3 k + 2 \cdots \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 $\displaystyle - 3 k + 2 = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \therefore k = \frac{5}{9}$