공통수학1이차부등식과 연립이차부등식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선이 직선 아래로 안 가는 접선

문제

포물선 y=x2−2x+3y = x ^{2} - 2 x + 3이 직선 y=ax+by = ax + b보다 아래쪽에 있는 xx의 값이 존재하지 않고, 이 포물선과 직선이 점 (3,6)( 3 , 6 )에서 만날 때, a+ba + b의 값은? (단, aa, bb는 상수이다.) [4점] ①−4- 4②−2- 2③00④22⑤44

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②

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해설

모든 실수 xx에 대하여 x2−2x+3≥ax+bx ^{2} - 2 x + 3 \geq ax + b이므로 f(x)=x2−(a+2)x+3−bf ( x ) = x ^{2} - ( a + 2 ) x + 3 - b라 하면 모든 실수 xx에 대하여 f(x)≥0f ( x ) \geq 0이다. 포물선과 직선이 점 (3,6)( 3 , 6 )에서 만나므로 f(3)=0f ( 3 ) = 0이다. f(x)≥0f ( x ) \geq 0이고 f(3)=0f ( 3 ) = 0이므로 x=3x = 3은 이차방정식 f(x)=0f ( x ) = 0의 중근이다. f(x)=(x−3)2=x2−6x+9f ( x ) = ( x - 3 ) ^{2} = x ^{2} - 6 x + 9이므로 a+2=6a + 2 = 6, 3−b=93 - b = 9에서 a=4a = 4, b=−6b = - 6 따라서 a+b=−2a + b = - 2 ②

태그

#이차부등식#중근#완전제곱식#직선과 포물선

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