공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선과 넓이 차

문제

이차함수 f(x)=12x2−2x\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{2} - 2 x의 그래프가 xx축과 만나는 두 점을 각각 O{\mathrm{O}}, A{\mathrm{A}}라 하자. 0<m<20 < m < 2인 실수 mm에 대하여 점 O{\mathrm{O}}를 지나고 기울기가 mm인 직선 l1l _{1}이 이차함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 만나는 점 중 O{\mathrm{O}}가 아닌 점을 B{\mathrm{B}}, 점 A{\mathrm{A}}를 지나고 기울기가 mm인 직선 l2l _{2}가 이차함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 만나는 점 중 A{\mathrm{A}}가 아닌 점을 C{\mathrm{C}}라 하자. 두 점 B{\mathrm{B}}, C{\mathrm{C}}에서 xx축에 내린 수선의 발을 각각 D{\mathrm{D}}, E{\mathrm{E}}라 하고, 두 삼각형 AEC{\mathrm{AEC}}, ADB{\mathrm{ADB}}의 넓이를 각각 S1S _{1}, S2S _{2}라 하자. S1−S2S _{1} - S _{2}의 최댓값을 qp\displaystyle \frac{q}{p}라 할 때, p×qp \times q의 값을 구하시오. (단, O{\mathrm{O}}는 원점이고, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

f(x)=12x(x−4)\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} x \left( x - 4 \right)이므로 O(0,0){\mathrm{O}} \left( 0 , 0 \right), A(4,0){\mathrm{A}} \left( 4 , 0 \right) 직선 l1l _{1}의 방정식은 y=mxy = mx 12x(x−4)=mx\displaystyle \frac{1}{2} x \left( x - 4 \right) = mx, x(x−2m−4)=0x \left( x - 2 m - 4 \right) = 0 x=0x = 0 또는 x=2m+4x = 2 m + 4 B(2m+4,2m(m+2)){\mathrm{B}} \left( 2 m + 4 , 2 m \left( m + 2 \right) \right), D(2m+4,0){\mathrm{D}} \left( 2 m + 4 , 0 \right) 직선 l2l _{2}의 방정식은 y=m(x−4)y = m \left( x - 4 \right) 12x(x−4)=m(x−4)\displaystyle \frac{1}{2} x \left( x - 4 \right) = m \left( x - 4 \right), (x−4)(x−2m)=0\left( x - 4 \right) \left( x - 2 m \right) = 0 x=4x = 4 또는 x=2mx = 2 m C(2m,2m(m−2)){\mathrm{C}} \left( 2 m , 2 m \left( m - 2 \right) \right), E(2m,0){\mathrm{E}} \left( 2 m , 0 \right) S1S _{1}=12×AE‾×EC‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AE}}} \times {\overline{\mathrm{EC}}} =12×(4−2m)×{−2m(m−2)}\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 4 - 2 m \right) \times \left\{ - 2 m \left( m - 2 \right) \right\} =2m(m−2)2= 2 m \left( m - 2 \right) ^{2} S2S _{2}=12×AD‾×DB‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{DB}}} =12×2m×2m(m+2)\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 m \times 2 m \left( m + 2 \right) =2m2(m+2)= 2 m ^{2} \left( m + 2 \right) S1−S2S _{1} - S _{2}=2m(m−2)2−2m2(m+2)= 2 m \left( m - 2 \right) ^{2} - 2 m ^{2} \left( m + 2 \right) =−12m2+8m= - 12 m ^{2} + 8 m =−12(m−13)2+43(0<m<2)\displaystyle = - 12 \left( m - \frac{1}{3} \right) ^{2} + \frac{4}{3} \left( 0 < m < 2 \right) S1−S2S _{1} - S _{2}는 m=13\displaystyle m = \frac{1}{3}일 때, 최댓값 43\displaystyle \frac{4}{3}를 갖는다. p=3p = 3, q=4q = 4 따라서 p×q=12p \times q = 12

태그

#이차함수#최댓값#넓이

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