포물선과 만나는 직선의 교점의 중점 조건

실마리: 두 교점의 $x$좌표는 이차방정식의 두 근이므로 중점의 좌표를 근과 계수의 관계로 나타내고, 서로 다른 두 점에서 만나는 조건(판별식)을 빠뜨리지 않는다. 점 $\left( 0 , - 2 \right)$를 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y = mx - 2$ $x ^{2} = mx - 2$, 즉 $x ^{2} - mx + 2 = 0$ …… ㉠ ㉠의 두 실근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표가 $\alpha$, $\beta$이다. 서로 다른 두 점에서 만나므로 ㉠의 판별식 $D = m ^{2} - 8 > 0$ …… ㉡ 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = m$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{m}{2}$이고, $\mathrm{M}$은 직선 $y = mx - 2$ 위에 있으므로 $y$좌표는 $\displaystyle m \cdot \frac{m}{2} - 2 = \frac{m ^{2}}{2} - 2$ 점 $\mathrm{M}$이 직선 $y = 2 x + 2$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{m ^{2}}{2} - 2 = m + 2$ $m ^{2} - 2 m - 8 = 0$ $\left( m - 4 \right) \left( m + 2 \right) = 0$에서 $m = 4$ 또는 $m = - 2$ $m = - 2$이면 $D = 4 - 8 < 0$이므로 ㉡에 어긋난다. 즉 직선 $y = - 2 x - 2$는 곡선과 만나지 않는다. $m = 4$일 때 ㉠은 $x ^{2} - 4 x + 2 = 0$이고 $\displaystyle x = 2 \pm \sqrt{2}$, 중점은 $\mathrm{M} \mathit{(} 2 , 6 )$이며 $2 \cdot 2 + 2 = 6$이므로 $\mathrm{M}$은 직선 $y = 2 x + 2$ 위에 있다. 그림에서 직선 $l$은 $y = 4 x - 2$, 직선 $m$은 $y = 2 x + 2$이다. 따라서 $m = 4$