미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

포물선 넓이 등차

문제

그림과 같이 네 점 $( 0 , 0 )$ , $( 1 , 0 )$ , $( 1 , 1 )$ , $( 0 , 1 )$ 을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부를 두 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$ , $y = ax ^{2}$ 으로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 $S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ 이라 하자.

$S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 양수 $a$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{16}{9}$ ② $\displaystyle \frac{17}{9}$ ③ $2$ ④ $\displaystyle \frac{19}{9}$ ⑤ $\displaystyle \frac{20}{9}$

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①

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해설

$S _{1} + S _{2} + S _{3} = 1$ , $2 S _{2} = S _{1} + S _{3}$ $\cdots$ ㉠ $\displaystyle S _{1} = \int _{0} ^{1} {} \frac{1}{2} x ^{2} dx = \frac{1}{6}$ $\cdots$ ㉡㉠, ㉡에서 $\displaystyle S _{2} = \frac{1}{3}$ , $\displaystyle S _{3} = \frac{1}{2}$ $ax ^{2} = 1$ 에서 $\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{a}} ( \because x > 0 )$ 이므로 $\displaystyle S _{3} = \frac{1}{\sqrt{a}} - \int _{0} ^{\frac{1}{\sqrt{a}}} {} ax ^{2} dx$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$ 에서 $\displaystyle a = \frac{16}{9}$

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