포물선 접선과 타원

[출제의도] 이차곡선의 접선을 이용하여 주어진 문제를 해결한다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF} _{2} - PF _{1}}}$$= 6$에서 점 $\mathrm{P}$는 두 초점이 $\mathrm{F} _{1} \left( 4 , 0 \right)$, $\mathrm{F} _{2} \left( - 6 , 0 \right)$이고 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선 위의 점이다. 쌍곡선의 중심의 좌표는 $\left( - 1 , 0 \right)$이므로 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{\left( x + 1 \right) ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16}$$= 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{P}$는 포물선 $y$$= 16 x$와 쌍곡선 ㉠의 교점이므로 $\displaystyle \frac{\left( x + 1 \right) ^{2}}{9} - \frac{16 x}{16}$$= 1$, $x ^{2} - 7 x - 18$$= 0$, $\left( x - 8 \right) \left( x + 1 \right)$$= 0$, $x$$= 8$ 또는 $x$$= \mathit{-} 1$ 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 8 , 8 \sqrt{2} \right)$이다. 포물선 $y ^{2}$$= 16 x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식이 $\displaystyle 8 \sqrt{2} y$$= 8 \left( x + 8 \right)$, 즉 $y$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x + 8 \right)$ $\cdots \cdots$ ㉡ 이므로 점 $\mathrm{F} _{3}$의 좌표는 $\left( - 8 , 0 \right)$이다. 두 점 $\mathrm{F} _{1} \left( 4 , 0 \right)$, $\mathrm{F} _{3} \left( - 8 , 0 \right)$을 초점으로 하는 타원의 꼭짓점은 $x$축 또는 직선 $x$$= \mathit{-} 2$ 위에 있다. 이때 선분 $\mathrm{PF} _{3}$ 위에 있는 꼭짓점은 직선 $x$$= \mathit{-} 2$ 위에 있으므로 ㉡에 $x$$= \mathit{-} 2$를 대입하면 $y$$\displaystyle = 3 \sqrt{2}$ 이 타원의 단축의 길이는 $\displaystyle 6 \sqrt{2}$이고, 두 초점 사이의 거리는 $12$이다. 따라서 $a ^{2}$$\displaystyle = 6 ^{2} + \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2}$$= 54$