포물선 접선과 타원

[출제의도] 포물선의 접선을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는가?

포물선 $y ^{2} = 4 px$위의 점 $( x _{1} , y _{1} )$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점의 좌표가 $( - x _{1} , 0 )$이므로 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\mathrm{H} ( \mathit{k} , 0 )$이다. $\mathrm{\angle} PAH = 30 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FO}} = \frac{\mathit{k}}{\sqrt{3}} , \mathrm{\overline{PH}} = \frac{\mathit{2} k}{\sqrt{3}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \overline{FP} = \frac{\mathit{2} k}{\sqrt{3}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}' = \sqrt{\mathit{k} ^{2} + \left( \frac{3 k}{\sqrt{3}} \right) ^{2}} = 2 \mathit{k}$ 이므로 타원의 장축의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + \overline{PF}' = \frac{\mathit{2} k}{\sqrt{3}} + 2 k$$\displaystyle = 4 \sqrt{3} + 12$ $\therefore k = 6$$\cdots \text{㉠}$ 또 점 $\displaystyle ( 6 , 4 \sqrt{3} )$이 포물선 $y ^{2} = 4 px$위의 점이므로 $\displaystyle ( 4 \sqrt{3} ) ^{2} = 4 p \times 6$ $\therefore p = 2$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠} , \text{㉡}$에서 $p + k = 8$