포물선 접선과 넓이 차

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 문제 해결하기 이차함수 $\displaystyle y = x ^{2} - 4 x + \frac{25}{4}$의 그래프가 직선 $y = ax$와 한 점에서만 만나므로 $\displaystyle x ^{2} - 4 x + \frac{25}{4} = ax$에서 이차방정식 $\displaystyle x ^{2} - \left( a + 4 \right) x + \frac{25}{4} = 0$의 판별식은 $\displaystyle D = \left( a + 4 \right) ^{2} - 4 \times 1 \times \frac{25}{4} = 0$ $\left( a + 4 \right) ^{2} = 25$에서 $a > 0$이므로 $a = 1$ 이차함수 $\displaystyle y = x ^{2} - 4 x + \frac{25}{4}$의 그래프가 직선 $y = x$와 만나는 점의 $x$좌표는 $\displaystyle x ^{2} - 4 x + \frac{25}{4} = x$에서 이차방정식 $\displaystyle x ^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 0$의 실근과 같으므로 $\displaystyle \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{5}{2}$이고, 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{H}$는 각각 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{5}{2} , \frac{5}{2} \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0 , \frac{25}{4} \right)$, $\displaystyle \mathrm{H} \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$이다.

$\displaystyle \mathrm{H} \left( \frac{5}{2} , 0 \right)$ $\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{5}{2} , \frac{5}{2} \right)$ $\displaystyle \mathrm{B} \left( 0 , \frac{25}{4} \right)$ $\displaystyle y = x ^{2} - 4 x + \frac{25}{4}$

한편, 삼각형 $\mathrm{BOH}$의 넓이를 $T _{1}$, 삼각형 $\mathrm{AOH}$의 넓이를 $T _{2}$라 할 때, $T _{1} - T _{2} = S _{1} - S _{2}$가 성립한다. $S _{1} - S _{2}$$= T _{1} - T _{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{25}{4} - \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{2}$ $\displaystyle = \frac{75}{16}$ 따라서 $p = 16$, $q = 75$이므로 $p + q = 91$이다.