피보나치 일반항 빈칸

다음은 $a _{1} = 1 , a _{2} = 1 , a _{n + 2} = a _{n} + a _{n + 1} ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항을 구하는 과정이다.

$a _{n + 2} = a _{n} + a _{n + 1}$에서 $a _{n + 2} - a _{n + 1} - a _{n} = 0$…㉠ $( a _{n + 2} - \alpha a _{n + 1} ) = \beta ( a _{n + 1} - \alpha a _{n} )$이라 하면, $a _{n + 2} - ( \alpha + \beta ) a _{n + 1} + \alpha \beta a _{n} = 0$…㉡ ㉠과 ㉡에서 $\alpha + \beta = 1 , \alpha \beta = - 1$을 얻을 수 있다. $\alpha , \beta$는 이차방정식 (가) 의 두 근이다. $\displaystyle \therefore \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} , \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$또는 $\displaystyle \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} , \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ $( a _{n + 2} - \alpha a _{n + 1} ) = \beta ( a _{n + 1} - \alpha a _{n} )$에서 수열 $\left\{ a _{n + 1} - \alpha a _{n} \right\}$은 첫째항이 $a _{2} - \alpha a _{1} ,$공비가 $\beta$인 등비수열이다. $\therefore a _{n + 1} - \alpha a _{n} = ( a _{2} - \alpha a _{1} ) \beta ^{n - 1}$ (1) $\displaystyle \alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} , \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ $\displaystyle \therefore a _{n + 1} - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a _{n} =$ (나) …㉢ (2) $\displaystyle \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} , \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ $\displaystyle \therefore a _{n + 1} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} a _{n} =$ (다) …㉣ ㉣ - ㉢을 하면, $\displaystyle \therefore a _{n} = \frac{\sqrt{5}}{5} \left\{ \right.$(다) $-$ (나) $\left. \right\}$이 된다.

위의 풀이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]