공통수학1이차방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

판별식이 완전제곱꼴인 방정식의 실근

문제

실수 a,ba , b에 대하여 xx에 대한 이차방정식 x2−2(a+b)x+2(a2+b2)=0x ^{2} - 2 ( a + b ) x + 2 ( a ^{2} + b ^{2} ) = 0 이 실근을 갖고 그 실근이 66일 때, abab의 값을 구하시오. [4점]

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9

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해설

판별식을 DD라 하면 D4=(a+b)2−2(a2+b2)\displaystyle \frac{D}{4} = ( a + b ) ^{2} - 2 ( a ^{2} + b ^{2} ) =−(a2−2ab+b2)=−(a−b)2≤0= - ( a ^{2} - 2 ab + b ^{2} ) = - ( a - b ) ^{2} \leq 0 실근을 가지려면 D=0D = 0이어야 하므로 a=ba = b 이때 방정식은 x2−4ax+4a2=0x ^{2} - 4 ax + 4 a ^{2} = 0, 즉 (x−2a)2=0( x - 2 a ) ^{2} = 0이고 중근 x=2ax = 2 a를 갖는다. 2a=62 a = 6에서 a=3a = 3, b=3b = 3 따라서 ab=9ab = 9이다.

태그

#판별식#중근#완전제곱식#실근 조건

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