미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

뉴턴 냉각법칙

문제

뉴턴의 냉각법칙에 따르면 온도가 2020으로 일정한 실내에 있는 어떤 물질의 시각 tt(분)에서의 온도를 T(t)T ( t )라 할 때, 함수 T(t)T ( t )의 도함수 T′(t)T' ( t )에 대하여 다음 식이 성립한다고 한다. ∫T′(t)T(t)−20dt=kt+C\displaystyle \int _{} ^{} {} \frac{T' ( t )}{T ( t ) - 20} dt = kt + C (단, kk, CC는 상수이다.) T(0)=100T ( 0 ) = 100, T(3)=60T ( 3 ) = 60일 때, kk의 값은? (단, 온도의 단위는 ∘C{}^\circ \mathrm{C}이다.) [4점] ①−ln⁡23\displaystyle \mathit{-} \frac{\ln 2}{3}②−2ln⁡23\displaystyle \mathit{-} \frac{2 \ln 2}{3}③−ln⁡2\mathit{-} \ln 2④−4ln⁡23\displaystyle \mathit{-} \frac{\mathit{4 \ln 2}}{3}⑤−5ln⁡23\displaystyle \mathit{-} \frac{5 \ln 2}{3}

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①

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해설

[출제의도] 적분을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. ddtln⁡∣T(t)−20∣=T′(t)T(t)−20\displaystyle \frac{d}{dt} \ln \left| T ( t ) - 20 \right| = \frac{T' ( t )}{T ( t ) - 20}이므로 ln⁡∣T(t)−20∣\ln \left| T ( t ) - 20 \right|=kt+C= k t + C 가 성립한다. t=0t = 0일 때, ln⁡∣T(0)−20∣\ln \left| T ( 0 ) - 20 \right|=C= C에서 C=ln⁡80C = \ln 80 …… ㉠ t=3t = 3일 때, ln⁡∣T(3)−20∣\ln \left| T ( 3 ) - 20 \right|=3k+C= 3 k + C에서 3k+C=ln⁡403 k + C = \ln 40 …… ㉡ ㉠, ㉡에서 3k3 k=ln⁡40−ln⁡80= \ln 40 - \ln 80=ln⁡12\displaystyle = \ln \frac{1}{2}=−ln⁡2= \mathit{-} \ln 2 kk=−ln⁡23\displaystyle = \mathit{-} \frac{\ln 2}{3}

태그

#치환적분#로그함수#실생활

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