공통수학1다항식의 연산AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

n의 네제곱에 4를 더한 수가 소수가 아님을 보이는 증명

문제

다음은 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $n ^{4} + 4$ 가 소수가 아님을 보이는 과정이다.

$n ^{4} + 4 = ( n ^{2} + 2 ) ^{2} -$ (가) $= ( n ^{2} + 2 n + 2 ) ( n ^{2} - 2 n + 2 )$ $n \geq 2$ 이면 $n ^{2} + 2 n + 2 > 1$ 이다. 또 $n ^{2} - 2 n + 2 = ( n - 1 ) ^{2} +$ (나) 이고, $n \geq 2$ 일 때 이 값의 최솟값은 (다) 이므로 $n ^{2} - 2 n + 2 > 1$ 이다. 그러므로 $n ^{4} + 4$ 는 $1$ 보다 큰 두 자연수의 곱이다. 따라서 $n ^{4} + 4$ 는 소수가 아니다.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을 $f ( n )$ , (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$ , $q$ 라 할 때, $f ( 2 ) + p + q$ 의 값은? [4점] ① $17$ ② $18$ ③ $19$ ④ $20$ ⑤ $21$

정답 보기

③

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

$( n ^{2} + 2 ) ^{2} = n ^{4} + 4 n ^{2} + 4$ 이므로 $n ^{4} + 4 = ( n ^{2} + 2 ) ^{2} - 4 n ^{2}$ 그러므로 $f ( n ) = 4 n ^{2}$ 이고 $f ( 2 ) = 16$ $( n ^{2} + 2 ) ^{2} - ( 2 n ) ^{2} = ( n ^{2} + 2 + 2 n ) ( n ^{2} + 2 - 2 n )$ 이 되어 두 인수의 곱으로 나타난다. $n ^{2} - 2 n + 2 = ( n - 1 ) ^{2} + 1$ 이므로 $p = 1$ $n \geq 2$ 일 때 $( n - 1 ) ^{2} \geq 1$ 이므로 $( n - 1 ) ^{2} + 1$ 의 최솟값은 $n = 2$ 일 때 $2$ , 즉 $q = 2$ 따라서 $f ( 2 ) + p + q = 16 + 1 + 2 = 19$ 답 ③

← 전체 문제 목록으로

n의 네제곱에 4를 더한 수가 소수가 아님을 보이는 증명

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기