미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

넓이 일정한 현의 극한

문제

포물선 y=x2y = x ^{2} 위에서 두 점 P(a,a2)\mathrm{P} \mathit{(} a , a ^{2} ), Q(b,b2)\mathrm{Q} \mathit{(} b , b ^{2} )가 조건 「선분PQ\mathrm{PQ}와 포물선 y=x2y = x ^{2}으로 둘러싸인 도형의 넓이는 3636」 을 만족하면서 움직이고 있다. lim⁡a→∞PQ‾a\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{\mathit{a}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

직선 PQ의 방정식을 구하면 y=b2−a2b−a(x−a)+a2\displaystyle y = \frac{b ^{2} - a ^{2}}{b - a} ( x - a ) + a ^{2}=(b+a)x−ab= ( b + a ) x - ab 이 때, 직선과 곡선 사이의 넓이를 구하면 ∫ab{(b+a)x−ab−x2}dx\displaystyle \int _{a} ^{b} \left\{ ( b + a ) x - ab - x ^{2} \right\} dx =∫ab{−x2+(a+b)x−ab}dx\displaystyle = \int _{a} ^{b} \left\{ - x ^{2} + ( a + b ) x - ab \right\} dx =∫ab−(x−a)(x−b)dx\displaystyle = \int _{a} ^{b} - ( x - a ) ( x - b ) dx =−−16(b−a)3\displaystyle = - \frac{- 1}{6} ( b - a ) ^{3} =36= 36 ∴(b−a)3=63( b - a ) ^{3} = 6 ^{3} ∴b−a=6b - a = 6 ⋯⋯\cdots \cdots㉠ 이때, PQ‾=(b−a)2+(b2−a2)2\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{\sqrt{( b - a ) ^{2} + ( b ^{2} - a ^{2} ) ^{2}}} =(b−a)2{1+(b+a)2}\displaystyle = \sqrt{( b - a ) ^{2} \left\{ 1 + ( b + a ) ^{2} \right\}} =61+(2a+6)2\displaystyle = 6 \sqrt{1 + ( 2 a + 6 ) ^{2}}(∵ ㉠) =64a2+24a+37\displaystyle = 6 \sqrt{4 a ^{2} + 24 a + 37} 이므로 lim⁡a→∞PQ‾a=lim⁡a→∞64a2+24a+37a\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{\mathit{a}} \mathit{=} \lim\limits _{a \rightarrow \infty} \frac{6 \sqrt{4 a ^{2} + 24 a + 37}}{a} =6×2= 6 \times 2 =12= 12

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#넓이#극한#포물선

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