대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

넓이 등차수열 비율 빈칸

문제

오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC\mathrm{A} BC의 변 AB\mathrm{A} B를 2:12 : 1로 내분하는 내분점을 P\mathrm{P}로 잡고, 변 AC\mathrm{A} C 위에 두 점 Q\mathrm{Q}, R\mathrm{R}를 잡자. 삼각형 APQ\mathrm{A} PQ, PRQ\mathrm{P} RQ와 사각형 PBCR\mathrm{P} BCR의 넓이가 차례로 첫째항이 aa이고 공차가 dd인 등차수열을 이룰 때, 다음은 C‾QA‾R\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{C}} Q}{\overline{\mathrm{A}} R}의 값을 aa와 dd로 나타내는 과정이다.

삼각형 APQ\mathrm{A} PQ의 넓이는 aa이므로 삼각형 APR\mathrm{A} PR의 넓이는 2a+d2 a + d가 되어 a:2a+da : 2 a + d=△APQ:△APR= \triangle \mathrm{A} PQ : \triangle \mathrm{A} PR =12A‾P⋅A‾Qsin⁡A:12A‾P⋅A‾Rsin⁡A\displaystyle = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{A}} P \cdot \overline{\mathrm{A}} Q \sin A : \frac{1}{2} \overline{\mathrm{A}} P \cdot \overline{\mathrm{A}} R \sin A 가 성립한다. 따라서 A‾QA‾R=a2a+d\displaystyle \overline{\mathrm{A}} \frac{Q}{\overline{\mathrm{A}}} R = \frac{a}{2 a + d} …… ㉠ 같은 방법으로, 삼각형 ABC\mathrm{A} BC의 넓이는 (가) 이므로 a:a : (가) =△APQ:△ABC= \triangle \mathrm{A} PQ : \triangle \mathrm{A} BC =12A‾P⋅A‾Qsin⁡A:12AB‾⋅A‾Csin⁡A\displaystyle = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{A}} P \cdot \overline{\mathrm{A}} Q \sin A : \frac{1}{2} \overline{\mathrm{A} B} \cdot \overline{\mathrm{A}} C \sin A 또한 점 P\mathrm{P}는 변 AB\mathrm{A} B를 2:12 : 1로 내분하는 내분점이므로 A‾P=23A‾B\displaystyle \overline{\mathrm{A}} P = \frac{2}{3} \overline{\mathrm{A}} B 따라서 A‾QA‾C=\displaystyle \overline{\mathrm{A}} \frac{Q}{\overline{\mathrm{A}}} C = (나) 그러므로 C‾QA‾Q=A‾C−A‾QA‾Q=\displaystyle \overline{\mathrm{C}} \frac{Q}{\overline{\mathrm{A}}} Q = \frac{\overline{\mathrm{A}} C - \overline{\mathrm{A}} Q}{\overline{\mathrm{A}} Q} = (다) …… ㉡ ㉠, ㉡에 의해 C‾QA‾R=C‾QA‾Q⋅A‾QA‾R=a+2d2a+d\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{C}} Q}{\overline{\mathrm{A}} R} = \frac{\overline{\mathrm{C}} Q}{\overline{\mathrm{A}} Q} \cdot \frac{\overline{\mathrm{A}} Q}{\overline{\mathrm{A}} R} = \frac{a + 2 d}{2 a + d}

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①a+2da + 2 d a3(a+d)\displaystyle \frac{a}{3 ( a + d )} 2a+3da\displaystyle \frac{2 a + 3 d}{a}②a+2da + 2 d a+d2a+3d\displaystyle \frac{a + d}{2 a + 3 d} a+2da+d\displaystyle \frac{a + 2 d}{a + d}③3(a+d)3 ( a + d ) a2(a+d)\displaystyle \frac{a}{2 ( a + d )} a+2da+d\displaystyle \frac{a + 2 d}{a + d}④3(a+d)3 ( a + d ) a2(a+d)\displaystyle \frac{a}{2 ( a + d )} a+2da\displaystyle \frac{a + 2 d}{a}⑤3(a+d)3 ( a + d ) a3(a+d)\displaystyle \frac{a}{3 ( a + d )} 2a+3da\displaystyle \frac{2 a + 3 d}{a}

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④

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해설

삼각형 ABC의 넓이는 3(a+d)3 ( a + d ) 이므로 a:a : 3(a+d)3 ( a + d )

=△APQ:△ABC= \mathrm{\triangle} APQ : \triangle ABC =12AP‾⋅AQ‾sin⁡A:12AB‾⋅AC‾sin⁡A\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{2} \overline{AP} \cdot \overline{AQ} \sin A : \frac{1}{2} \overline{AB} \cdot \overline{AC} \sin \mathrm{A} =AP‾⋅AQ‾:AB‾⋅AC‾\displaystyle = \mathrm{\overline{AP}} \cdot \overline{AQ} : \overline{AB} \cdot \overline{AC} 이 때, AP‾=23AB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \frac{2}{3} \overline{AB}이므로 a:3(a+d)=23AB‾⋅AQ‾:AB‾⋅AC‾\displaystyle a : 3 ( a + d ) = \frac{2}{3} \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{AQ} : \overline{AB} \cdot \overline{AC} aAC‾=23⋅3(a+d)AQ‾\displaystyle a {\mathrm{\overline{AC}}} = \frac{2}{3} \cdot 3 ( a + d ) {\mathrm{\overline{AQ}}} ∴AQ‾AC‾\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{AQ}}}{\overline{AC}}=a2(a+d)\displaystyle = \frac{a}{2 ( a + d )} ∴CQ‾AQ‾=AC‾−AQ‾AQ‾=AC‾AQ‾−1\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{CQ}}}{\overline{AQ}} = \frac{\overline{AC} - \overline{AQ}}{\overline{AQ}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AQ}} - 1 =2(a+d)a−1=a+2da\displaystyle = \frac{2 ( a + d )}{a} - 1 = \frac{a + 2 d}{a}

태그

#삼각형의 넓이#등차수열#증명 빈칸

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