넓이 차 최소 조건

주어진 함수 $h ( x )$를 $x = a$와 $x = b$를 기준으로 구간을 나누어 정의해 보면 $\displaystyle h ( x ) = \begin{cases} 0 ( x \leq 0 ) \\ kx ( 0 < x \leq a ) \\ ka ( a < x \leq b ) \\ k ( a + b - x ) ( b < x \leq 2 ) \\ k ( a + b - 2 ) ( x > 2 ) \end{cases}$ 구하는 값은 $\displaystyle \int _{0} ^{2} \left\{ g ( x ) - h ( x ) \right\} dx$의 최소이고 $\displaystyle \int _{0} ^{2} g ( x ) dx$의 값은 일정하므로 $\displaystyle \int _{0} ^{2} h ( x ) dx$가 최대일 때를 구하자. 모든 실수 $x$에 대하여 $0 \leq h ( x ) \leq g ( x )$이므로

$h ( x )$는 사다리꼴이고 $g ( x )$에 접하는 사다리꼴일 때 $\displaystyle \int _{0} ^{2} h ( x ) dx$의 값이 최대가 된다. 따라서 $h ( a ) = g ( a )$, $h ( 2 ) = g ( 2 )$이므로 $ka = a ( 2 - a )$, $k ( a + b - 2 ) = 0$ $\therefore k = 2 - a$, $a + b = 2$ $( \because k \ne 0 )$ $y = g ( x )$ $y = h ( x )$

$a$, $b$는 $x = 1$에 대하여 대칭이고 $a = 1 - t$, $b = 1 + t$라 하면 사다리꼴 넓이 공식에 의해 $\displaystyle \int _{0} ^{2} h ( x ) dx = \frac{1}{2} \times \left( 2 t + 2 \right) \left( 1 + t \right) \left( 1 - t \right)$ $= \left( 1 + t \right) ^{2} \left( 1 - t \right)$ $( 0 < t \leq 1 )$ $p ( t ) = \left( 1 + t \right) ^{2} \left( 1 - t \right)$ $( 0 < t \leq 1 )$ 라 하면 $p' ( t ) = 2 \left( 1 + t \right) \left( 1 - t \right) - \left( 1 + t \right) ^{2}$ $= ( 1 + t ) ( 1 - 3 t )$ $\displaystyle t = \frac{1}{3}$일 때 최대가 된다. 따라서 $\displaystyle a = \frac{2}{{3}}$, $\displaystyle b = \frac{4}{3}$, $\displaystyle k = \frac{4}{3}$ $\therefore 60 ( a + b + k ) = 200$