공통수학1이차방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

네 실근을 갖는 절댓값 방정식의 조건

문제

$x$ 에 대한 방정식 $x ^{2} - 4 \left| x \right| + k = 0$ 이 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 정수 $k$ 의 개수는? [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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③

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해설

$\left| x \right| = t ( t \geq 0 )$ 로 놓으면 $x ^{2} = t ^{2}$ 이므로 $t ^{2} - 4 t + k = 0$ …… ㉠ $t > 0$ 인 근 하나에 $x = \pm t$ 의 서로 다른 실근 두 개가 대응하므로 주어진 방정식이 서로 다른 네 실근을 가지려면 ㉠이 서로 다른 두 양의 근을 가져야 한다. (ⅰ) 판별식 $\displaystyle \frac{D}{4} = 4 - k > 0$ 에서 $k < 4$ (ⅱ) 두 근의 합은 $4 > 0$ 이고, 두 근의 곱은 $k > 0$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $0 < k < 4$ 따라서 정수 $k$ 는 $1 , 2 , 3$ 의 $3$ 개 답 ③

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