대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나머지 수열 바둑판

문제

a1=1,an+1=an2+1a _{1} = 1 , a _{n + 1} = a _{n} ^{2} + 1 (단, n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots)으로 정의되는 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 수열 {rn}\left\{ r _{n} \right\}의 제nn항 rnr _{n}은 ana _{n}을 a5a _{5}로 나눈 나머지로 정의하자. 예를 들어 r1r _{1}은 a1a _{1}을 a5a _{5}로 나눈 나머지이고, r2r _{2}는 a2a _{2}를 a5a _{5}로 나눈 나머지이다. 이 때, 다음 그림과 같이 100100개의 작은 사각형으로 이루어진 바둑판 모양의 사각형 각 칸에 r1r _{1}부터 r100r _{100}까지의 수를 차례로 채워나갈 때, 글자 모양의 어두운 부분에 채워지는 수들의 합을 구하시오. [4점]

r1r _{1}r2r _{2}r3r _{3}r4r _{4}r5r _{5}r6r _{6}r7r _{7}r8r _{8}r9r _{9}r10r _{10}
r11r _{11}r20r _{20}
r21r _{21}r30r _{30}
r31r _{31}r40r _{40}
r41r _{41}r50r _{50}
r51r _{51}r60r _{60}
r61r _{61}r70r _{70}
r71r _{71}r80r _{80}
r81r _{81}r90r _{90}
r91r _{91}r100r _{100}
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3939

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해설

a1=1a _{1} = 1, a2=2a _{2} = 2, a3=5a _{3} = 5, a4=26a _{4} = 26, a5=677a _{5} = 677, a6=a52+1a _{6} = {a _{5}} ^{2} + 1, ..... 이므로 r1=1r _{1} = 1, r2=2r _{2} = 2, r3=5r _{3} = 5, r4=26r _{4} = 26, r5=0r _{5} = 0, r6=1r _{6} = 1, r7=2r _{7} = 2, ..... (∵\because an=a5⋅m+pa _{n} = a _{5} \cdot m + p (0≤p<a50 \leq p < a _{5}) 이면 an+1=(a5⋅m+p)2+1=a5(a5⋅m2+2pm)+p2+1a _{n+1} = ( a _{5} \cdot m + p ) ^{2} + 1 = a _{5} ( a _{5} \cdot m ^{2} + 2 p m ) + p ^{2} + 1 이므로 rn=p→rn+1=p2+1r _{n} = p \rightarrow r _{n+1} = p ^{2} + 1 ) ∴\therefore rn={1(n=5m+1)2(n=5m+2)5(n=5m+3)26(n=5m+4)0(n=5m)\displaystyle r _{n} = \begin{cases} 1 ( n = 5 m + 1 ) \\ 2 ( n = 5 m + 2 ) \\ 5 ( n = 5 m + 3 ) \\ 26 ( n = 5 m + 4 ) \\ 0 ( n = 5 m ) \end{cases} , mm은 정수 ∴\therefore (수의 합)=26×1+0×2+1×4+2×2+5×1=39= 26 \times 1 + 0 \times 2 + 1 \times 4 + 2 \times 2 + 5 \times 1 = 39

태그

#점화식#나머지#주기

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