대수수학적 귀납법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

나머지 수열 바둑판

문제

a1=1,an+1=an2+1a _{1} = 1 , a _{n + 1} = a _{n} ^{2} + 1 (단, n=1,2,⋯n = 1 , 2 , \cdots)으로 정의되는 수열{an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 수열 {rn}\left\{ r _{n} \right\}의 제nn항 rnr _{n}은 ana _{n}을 a5a _{5}로 나눈 나머지로 정의하자. 예를 들어 r1r _{1}은 a1a _{1}을 a5a _{5}로 나눈 나머지이고, r2r _{2}는 a2a _{2}를 a5a _{5}로 나눈 나머지이다. 이 때, 다음 그림과 같이 100100개의 작은 사각형으로 이루어진 바둑판 모양의 사각형 각 칸에 r1r _{1}부터 r100r _{100}까지의 수를 차례로 채워나갈 때, 글자 모양의 어두운 부분에 채워지는 수들의 합을 구하시오. [4점]

r1r _{1}r2r _{2}r3r _{3}r4r _{4}r5r _{5}r6r _{6}r7r _{7}r8r _{8}r9r _{9}r10r _{10}
r11r _{11}r20r _{20}
r21r _{21}r30r _{30}
r31r _{31}r40r _{40}
r41r _{41}r50r _{50}
r51r _{51}r60r _{60}
r61r _{61}r70r _{70}
r71r _{71}r80r _{80}
r81r _{81}r90r _{90}
r91r _{91}r100r _{100}
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3939

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해설

a1=1a _{1} = 1, a2=11+1=2a _{2} = 1 ^{1} + 1 = 2, a3=22+1=5a _{3} = 2 ^{2} + 1 = 5 a4=52+1=26a _{4} = 5 ^{2} + 1 = 26, a5=262+1=677a _{5} = 26 ^{2} + 1 = 677, a6=a52+1a _{6} = a _{5} ^{2} + 1, ⋯ , a100=a992+1a _{100} = a _{99} ^{2} + 1이고 rnr _{n}은 ana _{n}을 a5=677a _{5} = 677로 나눈 나머지이므로 r1=1r _{1} = 1, r2=2r _{2} = 2, r3=5r _{3} = 5, r4=26r _{4} = 26, r5=0r _{5} = 0, a6=a52+1a _{6} = a _{5} ^{2} + 1 이므로 r6=1r _{6} = 1 a7=a62+1\begin{aligned} a _{7} & = a _{6} ^{2} + 1 \end{aligned} 이므로 r7=2r _{7} = 2 a8=a72+1\begin{aligned} a _{8} & = a _{7} ^{2} + 1 \end{aligned} 이므로 r8=5r _{8} = 5 a9=a82+1\begin{aligned} a _{9} & = a _{8} ^{2} + 1 \end{aligned}이므로 r9=26r _{9} = 26 a10=a92+1\begin{aligned} a _{10} & = a _{9} ^{2} + 1 \end{aligned}이므로 r10=0r _{10} = 0 ⋮ ⋮

125260125260
1
260125
1
012

그러므로 어두운 부분에 채워진 수들의 합은 3939

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#점화식#나머지#주기

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