내적 조건과 최댓값

점 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} , y \right)$라 하면 조건 (가)에서 $5 \left( 4 , - 6 \right) \bullet \left( x , y \right) - \left( 2 , 6 \right) \bullet \left( x - 6 , y \right) = \left( 6 , 0 \right) \bullet \left( 2 , 6 \right)$ $20 x - 30 y - 2 x + 12 - 6 y = 12$ $\therefore$$\displaystyle y = \frac{1}{2} x$

위의 그림과 같이 직선 $\mathrm{AB}$와 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$의 교점을 $\mathrm{D}$라 하자. 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{3}{2} \left( x - 6 \right) = \mathit{-} \frac{3}{2} x + 9$ 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$와 연립하면 $\displaystyle x = \frac{9}{2}$, $\displaystyle y = \frac{9}{4}$이므로 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{9}{2} , \frac{9}{4} \right)$이다. 직선 $\mathrm{BC}$와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$의 교점을 $\mathrm{E}$라 하면 점 $\mathrm{P}$의 자취는 선분 $\mathrm{DE}$와 같다. 점 $\mathrm{P}$의 자취의 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = \sqrt{5}$이고, 두 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$를 지나는 직선의 기울기가 $\displaystyle \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{E} \left( \frac{5}{2} , \frac{5}{4} \right)$이다. 세 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{C}$가 일직선 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{- 2 k - 6}{k - 2} = \frac{- \frac{19}{4}}{\frac{1}{2}}$, $\displaystyle k = \frac{10}{3}$ $\therefore$$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{10}{3} , - \frac{20}{3} \right)$ 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{a} , \frac{a}{2} \right)$라 하면 $\displaystyle \frac{5}{2} \leq a \leq \frac{9}{2}$이고 $\mathrm{\vec{OA}} \bullet \vec{CP}$$\displaystyle = \left( 6 , 0 \right) \bullet \left( a - \frac{10}{3} , \frac{a}{2} + \frac{20}{3} \right)$ $= 6 a - 20$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{9}{2}$일 때, $6 a - 20$의 최댓값은 $7$이므로 $\mathrm{\vec{OA}} \bullet \vec{CP}$의 최댓값은 $7$이다.