내적 0 인 점의 자취

$\mathrm{\vec{OC}} = \mathit{\left( x , y \right)}$라 하자. $\mathrm{\vec{CA}} = {\vec{OA}} - {\vec{OC}} = \left( 2 , 5 \right) - \mathit{\left( x , y \right)} = \left( 2 - x , 5 - y \right)$, $\mathrm{\vec{CB}} = {\vec{OB}} - {\vec{OC}} = \left( 4 , 3 \right) - \mathit{\left( x , y \right)} = \left( 4 - x , 3 - y \right)$ $\therefore \mathrm{\vec{CA}} \cdot {\vec{CB}}$$= \mathit{\left( 2 - x \right.}$$5 - y ) \cdot \left( 4 - x \right.$$3 - y )$ $= \left( 2 - x \right) \left( 4 - x \right) + \left( 5 - y \right) \left( 3 - y \right)$ $= x ^{2} - 6 x + 8 + y ^{2} - 8 y + 15$ 따라서, $\mathrm{\vec{CA}} \cdot {\vec{CB}} = 0$을 만족시키는 점 $\mathrm{C}$는 $x ^{2} - 6 x + 8 + y ^{2} - 8 y + 15 = 0$ $\left( x - 3 \right) ^{2} + \left( y - 4 \right) ^{2} = 2$이므로 중심이 $\left( 3 , 4 \right)$이고, 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 원 위를 움직이는 점이다. 이때, $\displaystyle \mathrm{\left| {\vec{OC}} \right|} = \mathit{\sqrt{x ^{2} + y ^{2}}}$이고 $\displaystyle \sqrt{x ^{2} + y ^{2}}$은 원점과 원 $\left( x - 3 \right) ^{2} + \left( y - 4 \right) ^{2} = 2$ 위의 점 사이의 거리이다. 따라서, 원의 중심을 $\mathrm{O}'$, 반지름의 길이를 $r$라 하면 $\mathrm{\left| {\vec{OC}} \right|}$의 최솟값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{OO'}} - \mathit{r} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} - \sqrt{2} = 5 - \sqrt{2}$이고, 최댓값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{OO'}} + \mathit{r} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} + \sqrt{2} = 5 + \sqrt{2}$ 그러므로 최댓값과 최솟값의 합은 $10$이다.