내분점이 그리는 도형의 넓이

선분 $\mathrm{AC}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{2 \times 3 + 1 \times 9}{3} , \frac{2 \times 4 + 1 \times 1}{3} \right)$, 즉 $\mathrm{D} ( 5 , 3 )$ 삼각형 $\mathrm{ACQ}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} : \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{AQ}} = 2 : 3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DP}} = \frac{2}{3} \overline{\mathrm{CQ}} = \frac{2}{3} \times 2 = \frac{4}{3}$ 즉, 점 $\mathrm{Q}$가 원 위를 움직이면 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{D} ( 5 , 3 )$에서 거리가 항상 $\displaystyle \frac{4}{3}$인 점, 곧 중심이 $\mathrm{D}$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{4}{3}$인 원을 그린다. (검산: $\mathrm{Q} ( a , b )$, $\mathrm{P} ( x , y )$라 하면 $\displaystyle x = \frac{2 a + 9}{3}$, $\displaystyle y = \frac{2 b + 1}{3}$에서 $\displaystyle a = \frac{3 x - 9}{2}$, $\displaystyle b = \frac{3 y - 1}{2}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}} = \mathit{2}$에서 $( a - 3 ) ^{2} + ( b - 4 ) ^{2} = 4$이므로 $\displaystyle \frac{9}{4} ( x - 5 ) ^{2} + \frac{9}{4} ( y - 3 ) ^{2} = 4$, 즉 $\displaystyle ( x - 5 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = \frac{16}{9}$) 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \pi \times \left( \frac{4}{3} \right) ^{2} = \frac{16}{9} \pi$이므로 답은 ②이다.