대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내분점 반복 좌표

문제

좌표평면 위의 두 점 P1(1,−1)\mathrm{P} _{1} ( 1 , - 1 ), P2(4,−2)\mathrm{P} _{2} ( 4 , - 2 )에 대하여 선분 P1P2‾\displaystyle \overline{P _{1} P _{2}}를 2:12 : 1로 내분하는 점을 P3\mathrm{P} _{3}, 선분 rP2P3‾\displaystyle \overline{rP _{2} P _{3}}을 2:12 : 1로 내분하는 점을 P4\mathrm{P} _{4}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 선분 PnPn+1‾\displaystyle \overline{P _{n} P _{n + 1}}을 2:12 : 1로 내분하는 점을 Pn+2P _{n + 2}(\left( \right.단, n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots))라 하자. 이 때, 점PnP _{n}의 좌표를 Pn(xn,yn)P _{n} ( x _{n} , y _{n} )이라 하면 x2005−y2005x _{2005} - y _{2005}의 값은? [4점] ①6+3−20036 + 3 ^{- 2003}②6−3−20036 - 3 ^{- 2003}③5+3−20035 + 3 ^{- 2003}④5−3−20035 - 3 ^{- 2003}⑤5−3−20055 - 3 ^{- 2005}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

내분점 공식에 의해서 Pn+2(xn+2xn+13,yn+2yn+13)\displaystyle \mathrm{P} _{n+2} ( \frac{x _{n} + 2 x _{n+1}}{3} , \frac{y _{n} + 2 y _{n+1}}{3} ) 이므로 xn+2=xn+2xn+13\displaystyle x _{n+2} = \frac{x _{n} + 2 x _{n+1}}{3}, yn+2=yn+2yn+13\displaystyle y _{n+2} = \frac{y _{n} + 2 y _{n+1}}{3} 이고 문제의 조건에서 x1=1,x2=4,y1=−1,y2=−2x _{1} = 1 , x _{2} = 4 , y _{1} = - 1 , y _{2} = - 2 이므로 xn=134+274(−13)n\displaystyle x _{n} = \frac{13}{4} + \frac{27}{4} ( - \frac{1}{3} ) ^{n}, yn=−74+(−94)(−13)n\displaystyle y _{n} = {- \frac{7}{4}} + ( - \frac{9}{4} ) ( - \frac{1}{3} ) ^{n} x2005=134+274(−13)2005\displaystyle x _{2005} = \frac{13}{4} + \frac{27}{4} ( - \frac{1}{3} ) ^{2005} -----① y2005=−74+(−94)(−13)2005\displaystyle y _{2005} = {- \frac{7}{4}} + ( - \frac{9}{4} ) ( - \frac{1}{3} ) ^{2005} ----- ② [$\text{ ①} - \text{ ②}]: ] : x _{2005} - y _{2005} = 5 + 9 ( - \frac{1}{3} ) ^{2005} = 5 - {3 ^{- 2003}}$ ∴x2005−y2005=5−3−2003\therefore x _{2005} - y _{2005} = 5 - {3 ^{- 2003}}

태그

#내분점#점화식#등비수열

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수학적 귀납법 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로