밑이 다른 두 로그의 합의 최솟값

$\log _{2} x = a$, $\log _{2} y = b$로 놓으면 $x > 1$, $y > 1$이므로 $a > 0$, $b > 0$ $xy = 256$에서 $\log _{2} x + \log _{2} y = \log _{2} 256 = 8$이므로 $a + b = 8$ $\displaystyle \log _{x} 2 = \frac{1}{\log _{2} x} = \frac{1}{a}$, $\displaystyle \log _{y} 512 = \frac{\log _{2} 512}{\log _{2} y} = \frac{9}{b}$ $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{9}{b} = \frac{1}{8} ( a + b ) \left( \frac{1}{a} + \frac{9}{b} \right) = \frac{1}{8} \left( 10 + \frac{b}{a} + \frac{9 a}{b} \right)$ $\displaystyle \frac{b}{a} > 0$, $\displaystyle \frac{9 a}{b} > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle \frac{b}{a} + \frac{9 a}{b} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{9 a}{b}} = 6$ (등호는 $b = 3 a$일 때 성립) $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{9}{b} \geq \frac{1}{8} ( 10 + 6 ) = 2$ 등호는 $b = 3 a$, $a + b = 8$에서 $a = 2$, $b = 6$, 즉 $x = 4$, $y = 64$일 때 성립한다. 따라서 최솟값은 $2$이다. ②