미분가능성과 부등식

[출제의도] 미분가능성을 이해하고 있으며 미분을 이용하여 부등식에 관련된 문제를 해결할 수 있는가? 힘수 $f ( x )$는 $x < a$, $x > a$일 때, 다항함수이므로 이 범위에서 미분가능하다. 한편, 조건 (가)에서 함수 $f ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능해야 하므로 함수 $f ( x )$는 $x = a$에서 미분가능해야 한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}}}$이어야 한다. 이때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} = \lim\limits _{x \rightarrow a -} {\frac{0 - 0}{x - a}} = 0}$ $\cdots \cdots$㉠ 또, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}} = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + 1 )}{x - a}}$ 여기서 $x \rightarrow a +$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고, 극한값이 존재해야 하므로 (분자)$\rightarrow 0$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + 1 ) = 0}$, $( a - 1 ) ^{2} ( 2 a + 1 ) = 0$ $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$ 또는 $a = 1$ (ⅰ) $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{1}{2} +} {\frac{( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + 1 )}{x - \left( - \frac{1}{2} \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - \frac{1}{2} +} {2 ( x - 1 ) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{9}{2}$ 이 값은 ㉠의 값과 다르므로 $\displaystyle a = - \frac{1}{2}$일 때 함수 $f ( x )$는 미분가능하지 않다. (ⅱ) $a = 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {\frac{( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + 1 )}{x - 1}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {( x - 1 ) ( 2 x + 1 )}$$= 0$ 이 값은 ㉠의 값과 같으므로 $a = 1$일 때 함수 $f ( x )$는 미분가능하다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 $a = 1$이다. 한편, 조건 (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) \geq g ( x )$이어야하므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 함수 $y = g ( x )$의 그래프보다 위쪽에 있거나 접해야 한다.

$x > 1$일 때, 함수 $f ( x ) = ( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + 1 )$와 접하고 기울기가 $12$인 접선의 접점을 $\left( m , f ( m ) \right)$ ($m > 1$)라 하자. $f' \left( x \right)$$= \left\{ ( x - 1 ) ^{2} \right\}' ( 2 x + 1 ) + ( x - 1 ) ^{2} ( 2 x + 1 )'$ $= 2 ( x - 1 ) ( 2 x + 1 ) + 2 ( x - 1 ) ^{2}$ $= ( x - 1 ) \left\{ ( 4 x + 2 ) + ( 2 x - 2 ) \right\}$ $= 6 x ( x - 1 )$ 이때, 접선의 기울기가 $12$이므로 $6 m ( m - 1 ) = 12$ $m ^{2} - m - 2 = 0$ $( m + 1 ) ( m - 2 ) = 0$ $m = - 1$ 또는 $m = 2$ 이때, $m > 1$이므로 $m = 2$ 그러므로 접선의 방정식은 $y - 5 = 12 ( x - 2 )$ $y = 12 x - 19$ $\displaystyle y = 12 \left( x - \frac{19}{12} \right)$ 따라서 $\displaystyle k \geq \frac{19}{12}$이므로 $k$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{19}{12}$이다. 그러므로 $a + p + q = 1 + 12 + 19 = 32$