미분가능한 절댓값 합성함수의 극댓값

삼차함수 $f \left( x \right)$의 $x ^{3}$의 계수는 $1$이고, 함수 $g \left( x \right)$는 모든 실수에서 미분가능하므로 $x = 1$에서 미분가능하다. 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} f \left( x \right) & & \left( x < 1 \right) \\ - f \left( x \right) & & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$이고 $x = 1$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} g \left( x \right) = g \left( 1 \right)$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} f \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \left\{ - f \left( x \right) \right\} = f \left( 1 \right)$ 즉 $- f \left( 1 \right) = f \left( 1 \right)$이므로 $f \left( 1 \right) = 0$, $g \left( 1 \right) = 0$ 또 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 1$에서 미분가능하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 1 \right)}{x - 1}$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1} = - \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 1 \right)}{x - 1}$ 즉 $f' \left( 1 \right) = - f' \left( 1 \right)$이므로 $f' \left( 1 \right) = 0$ $f \left( 1 \right) = 0$, $f' \left( 1 \right) = 0$이므로 $f \left( x \right)$는 $\left( x - 1 \right) ^{2}$을 인수로 갖는다. $f' \left( x \right) = 3 \left( x - 1 \right) \left( x - a \right)$ ($a$는 상수)라 하면 $g' \left( x \right)$$\displaystyle = \begin{cases} f' \left( x \right) & & \left( x < 1 \right) \\ - f' \left( x \right) & & \left( x > 1 \right) \end{cases}$$\displaystyle = \begin{cases} 3 \left( x - 1 \right) \left( x - a \right) & & \left( x < 1 \right) \\ - 3 \left( x - 1 \right) \left( x - a \right) & & \left( x > 1 \right) \end{cases}$ (ⅰ) $a < 1$일 때 함수 $g \left( x \right)$의 도함수 $y = g' \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

즉 함수 $g \left( x \right)$는 $x = a$에서 극대이므로 조건에 의하여 $a = - 1$ (ⅱ) $a = 1$일 때 함수 $g \left( x \right)$의 도함수 $y = g' \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

즉 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 1$에서만 극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $a > 1$일 때 함수 $g \left( x \right)$의 도함수 $y = g' \left( x \right)$의 그래프의 개형은 그림과 같다.

즉 함수 $g \left( x \right)$는 $x = a$에서 극대이고 $a > 1$이므로 조건을 만족시키지 않는다. 이상에서 함수 $g \left( x \right)$가 $x = - 1$에서 극값을 갖도록 하는 실수 $a$의 값은 $- 1$이므로 $f' \left( x \right)$$= 3 \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right)$$= 3 x ^{2} - 3$ $\therefore$ $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x + 2$ ($\because$ $f \left( 1 \right) = 0$) 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

즉 함수 $f \left( x \right)$는 $x = - 1$에서 극댓값 $4$를 갖고, $x = 1$에서 극솟값 $0$을 갖는다. 따라서 함수 $f \left( x \right)$의 극댓값은 $4$이다.