미분가능한 함수와 실근의 개수

함수 $f \left( x \right)$$= px ^{2} + qx + r \left( p < 0 \right)$라 하면 $f' \left( x \right) = 2 px + q$ 함수 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{3} + ax ^{2} + 15 x + 7 & & \left( x \leq 0 \right) \\ f \left( x \right) & & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$일 때 조건 (가)에서 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x = 0$에서 연속이고 미분가능해야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right) = g \left( 0 \right)$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( x ^{3} + ax ^{2} + 15 x + 7 \right)$$= 7$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f \left( x \right) = f \left( 0 \right)$ $g \left( 0 \right) = 7$ $f \left( 0 \right) = 7$에서 $r = 7$ $g' \left( 0 \right)$이 존재해야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{x ^{3} + ax ^{2} + 15 x}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( x ^{2} + ax + 15 \right)$$= 15$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{g \left( x \right) - g \left( 0 \right)}{x}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( x \right) - f \left( 0 \right)}{x} = f' \left( 0 \right)$ $f' \left( x \right) = 2 px + q$이므로 $f' \left( 0 \right) = 15$에서 $q = 15$ 함수 $\displaystyle g' \left( x \right) = {\begin{cases} 3 x ^{2} + 2 ax + 15 & & \left( x {} \leq 0 \right) \\ 2 px + 15 & & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$이고 함수 $g' \left( x - 4 \right)$의 그래프는 함수 $g' \left( x \right)$를 $x$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동한 것이므로 $a {} \leq 0$라 하면 두 함수 $g' \left( x \right)$, $g' \left( x - 4 \right)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

방정식 $g' \left( x \right) \times g' \left( x - 4 \right) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$이므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다. 즉 $a > 0$이고 $\displaystyle a \ne 3 \sqrt{5}$이므로 방정식 $g' \left( x \right) \times g' \left( x - 4 \right) = 0$의 서로 다른 네 실근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$라 할 때 두 함수 $g' \left( x \right)$, $g' \left( x - 4 \right)$의 그래프의 개형은 다음 그림과 같아야 한다.

함수 $g' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax + 15$에서 방정식 $g' \left( x \right) = 0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{2 a}{3}$, $\alpha \beta = 5$ 두 근의 차가 $4$이어야 하므로 $\left| \alpha - \beta \right| = 4$에서 $\left| \alpha - \beta \right|$$\displaystyle = \sqrt{\left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta}$$\displaystyle = \sqrt{\frac{4}{9} a ^{2} - 20}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{4}{9} a ^{2} - 20} = 4$이므로 $a = 9 \left( \because a > 0 \right)$ 즉 $g' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 18 x + 15 = 3 \left( x + 5 \right) \left( x + 1 \right)$이므로 방정식 $g' \left( x \right) = 0$의 두 실근 $\alpha$, $\beta$는 각각 $\alpha = - 5$, $\beta = - 1$ 이고 방정식 $g' \left( x - 4 \right) = 0$의 두 근 $\gamma$, $\delta$는 각각 $\gamma = 3$, $\delta = 7$ 이다. 이때 $\gamma = 3$은 직선 $f' \left( x \right) = 2 px + 15$의 $x$절편과 같으므로 $6 p + 15 = 0$, $\displaystyle p = - \frac{5}{2}$ 따라서 $\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} x ^{3} + 9 x ^{2} + 15 x + 7 & & \left( x \leq 0 \right) \\ - \frac{5}{2} x ^{2} + 15 x + 7 & & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$이므로 $g \left( - 2 \right) + g \left( 2 \right)$$= 5 + 27 = 32$