미분가능 절댓값 함수

[출제의도] 미분가능성과 함수의 증가와 감소를 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 조건 (가)에 의해 $f ( x ) + 2 x + k = - ( x - a ) ^{3}$라 둘수 있으므로 $f ( x ) = - ( x - a ) ^{3} - 2 x - k$ ($a$는 실수) $f' ( x ) = - 3 ( x - a ) ^{2} - 2 < 0$ 이므로 $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 감소함수이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $xf ( x ) \leq f ( x )$에서 $( x - 1 ) f ( x ) \leq 0$ (1) $x > 1$ 이면 $x - 1 > 0$이므로 $f ( x ) \leq 0$ (2) $x < 1$ 이면 $x - 1 < 0$이므로 $f ( x ) \geq 0$ $f ( x )$는 실수 전체의 집합에서 연속함수이면서 감소함수이므로 $f ( 1 ) = 0$ $f ( 1 ) = - ( 1 - a ) ^{3} - 2 - k = 0$ $k = - ( 1 - a ) ^{3} - 2$ $\cdots$㉠ $g ( x ) = \left| - ( x - a ) ^{3} \right| = \left| x - a \right| ^{3}$ $\displaystyle = {\begin{cases} - ( x - a ) ^{3} & ( x < a ) \\ ( x - a ) ^{3} & ( x \geq a ) \end{cases}}$ 이고 $\displaystyle g' ( x ) = {\begin{cases} - 3 ( x - a ) ^{2} & ( x < a ) \\ 3 ( x - a ) ^{2} & ( x > a ) \end{cases}}$ $g' ( 1 ) = 3 > 0$이므로 $a \leq 1$에서 $g' ( 1 ) = 3 ( 1 - a ) ^{2} = 3$ $a = 0$ 또는 $a = 2$ $a \leq 1$ 이므로 $a = 0$ 따라서 ㉠에서 $k = - 3$