미분불가능한 점의 개수

만약 $y = f ( x )$의 그래프가 극점을 하나만 가진다면, $g ( t )$가 불연속인 점은 하나이거나 셋이다.

따라서 $y = f ( x )$의 그래프는 두 개의 극솟점과 하나의 극댓점을 가진다. 또한 $y = f ( x )$의 그래프가 두 개의 극솟값을 가지면, $g ( t )$가 불연속인 점은 $3$개다.

따라서 $y = f ( x )$의 그래프의 두 개의 극솟점의 극솟값은 같다. $f ( x ) = ( x - \alpha ) ^{2} ( x - \beta ) ^{2} + k$이고, 극솟값이 $3$이어야 하므로 $k = 3$ $f ( x ) = 3$의 한 근이 $0$ 이므로 $f ( x ) = x ^{2} ( x - \alpha ) ^{2} + 3$ $f' ( x ) = 2 x ( x - \alpha ) ^{2} + 2 x ^{2} ( x - \alpha ) = 2 x ( x - \alpha ) ( 2 x - \alpha ) = 0$에서 (극댓값)=$\displaystyle f \left( \frac{\alpha}{2} \right) = \frac{\alpha ^{4}}{16} + 3 = 19$ $\therefore \alpha = \pm 4$ 그런데, $\alpha = - 4$이면 $f' ( 3 ) > 0$이므로 $\alpha = 4$

$f ( x ) = x ^{2} ( x - 4 ) ^{2} + 3 , f ( - 2 ) = 4 \times 36 + 3 = 147$