미분 점화식으로 정의된 수열의 무한급수

$f _{n} ( x ) = b _{n} x + a _{n}$라 하면 ($a _{1} = 2 , b _{1} = 1$) $f _{n+1} ( x ) = b _{n+1} x + a _{n+1}$ $\displaystyle = \frac{d}{dx} \left\{ 2 x f _{n} ( x ) \right\}$ $= 2 f _{n} ( x ) + 2 x \cdot f' _{n} ( x )$ $= 2 \left( b _{n} x + a _{n} \right) + 2 x \cdot b _{n}$ $= 4 b _{n} x + 2 a _{n}$ 따라서, $b _{n + 1} = 4 b _{n} , a _{n + 1} = 2 a _{n}$ 즉, $a _{n} , b _{n}$은 각각 공비가 $2$와 $4$인 등비수열이 된다. $a _{n} = 2 ^{n} , b _{n} = 4 ^{n-1}$ 따라서, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} {\frac{a _{n}}{b _{n}}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{2 ^{n}}{4 ^{n-1}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} {2 ^{2-n}} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4$