마름모에 접하는 타원

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-평면곡선 ㄱ. (참) 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$은 선분 $AB$에 접하고 그 접점이 점 $P$이므로 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$위의 점 $P$에서의 접선의 기울기는 직선 $AB$의 기울기와 같다. 두 점 $\displaystyle A ( 2 \sqrt{3} , 0 )$, $B ( 0 , 2 )$를 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{0 - 2}{2 \sqrt{3} - 0} = - \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 이므로 점 $P$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3}$이다. ㄴ. (참) 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$$( a > b > 0 )$에 대하여 $E ( a , 0 ) , F ( 0 , b )$ $\displaystyle {\overline{AB}} / / {\overline{EF}}$이고 ㄱ에서 직선 $AB$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 $\displaystyle - \frac{b}{a} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\displaystyle \therefore a = \sqrt{3} b \cdots$㉠ 타원 위의 점 $P$에서의 접선은 기울기가 $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3}$이고 점 $B ( 0 , 2 )$를 지나므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$ 한편, 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$위의 점 $P$의 좌표를 $P ( x _{1} , y _{1} )$이라 하면 점 $P$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{b ^{2} x _{1}}{a ^{2} y _{1}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\displaystyle 3 b ^{2} x _{1} = \sqrt{3} a ^{2} y _{1}$ ㉠에서 $\displaystyle 3 b ^{2} x _{1} = 3 \sqrt{3} b ^{2} y _{1}$, $\displaystyle x _{1} = \sqrt{3} y _{1}$ $\cdots$㉡ 한편, 점 $P$는 직선 $\displaystyle y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$ 위의 점이므로 $\displaystyle y _{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3} x _{1} + 2$ 이 식을 ㉡에 대입하여 정리하면 $2 y _{1} = 2$ 따라서 $\displaystyle x _{1} = \sqrt{3}$, $y _{1} = 1$, 즉 점 $P$의 좌표는 $\displaystyle ( \sqrt{3} , 1 )$ 점 $P$는 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$위의 점이므로 $\displaystyle \frac{3}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 1$ $\cdots$㉢ ㉠, ㉢에서 $a ^{2} = 6$, $b ^{2} = 2$이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 8$ ㄷ. (거짓) ㄴ에서 점 $P$의 좌표는 $\displaystyle P ( \sqrt{3} , 1 )$이다. 따라서 두 점 $A , C$를 초점으로 하고 점 $P$를 지나는 쌍곡선의 주축의 길이는 $\displaystyle {\overline{CP}} - {\overline{AP}} = \sqrt{( 3 \sqrt{3} ) ^{2} + 1 ^{2}} - \sqrt{( \sqrt{3} ) ^{2} + 1 ^{2}} = 2 \sqrt{7} - 2$ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.