미적분Ⅱ정적분의 활용AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

꽃병에 담긴 물의 높이 구하기

문제

어떤 꽃병의 안쪽은 바닥에서의 높이가 xx인 곳의 수평 단면이 반지름의 길이가 ex2\displaystyle e ^{\frac{x}{2}}인 원이 되도록 만들어졌다. 이 꽃병에 부피가 7π7 \pi인 물을 넣었을 때, 물의 높이는? [3점] ①ln⁡2\ln 2②ln⁡3\ln 3③2ln⁡22 \ln 2④ln⁡7\ln 7⑤3ln⁡23 \ln 2

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⑤

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해설

물의 높이를 hh라 하자. 높이 xx에서의 단면의 넓이는 π(ex2)2=πex\displaystyle \pi ( e ^{\frac{x}{2}} ) ^{2} = \pi e ^{x}이므로 물의 부피는 ∫0hπexdx=π[ex]0h=π(eh−1)\displaystyle \int _{0} ^{h} \pi e ^{x} dx = \pi \left[ e ^{x} \right] _{0} ^{h} = \pi ( e ^{h} - 1 ) π(eh−1)=7π\pi ( e ^{h} - 1 ) = 7 \pi에서 eh=8e ^{h} = 8 따라서 h=ln⁡8=3ln⁡2h = \ln 8 = 3 \ln 2이다. ⑤

태그

#정적분의 활용#실생활#부피#지수함수

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