꺾은선 함수 정적분

점 ${\mathrm{P}} _{n}$의 좌표를 $( a _{n} , b _{n} )$이라 하자. $a _{n} = 1 + ( n - 1 ) \times 2 = 2 n - 1$ 이고 선분 ${\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{P}} _{n+1}$과 직선 $x = a _{n}$, 직선 $x = a _{n+1}$ 및 $x$축과 둘러싸인 도형의 넓이 $S _{n}$은 $\displaystyle S _{n} = \int _{a _{n}} ^{a _{n+1}} {f ( x )} dx$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( a _{n+1} - a _{n} ) \times ( b _{n} + b _{n+1} )$ $= b _{n} + b _{n+1}$ $a _{1} = 1$, $a _{6} = 11$이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{11} {f ( x )} dx = \int _{a _{1}} ^{a _{6}} {f ( x )} dx$ $= S _{1} + S _{2} + S _{3} + S _{4} + S _{5}$ $= ( b _{1} + b _{2} ) + ( b _{2} + b _{3} ) + ( b _{3} + b _{4} )$$+ ( b _{4} + b _{5} ) + ( b _{5} + b _{6} )$ 조건 (다)에 의하여 직선 ${\mathrm{P}} _{n{\mathrm{P}}_{n+1}}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{b _{n+1} - b _{n}}{a _{n+1} - a _{n}} = \frac{1}{2} a _{n+1}$, $b _{n+1} = b _{n} + a _{n+1}$ $b _{1} = 1 = a _{1}$ $b _{2} = b _{1} + a _{2} = a _{1} + a _{2} = 4$ $b _{3} = b _{2} + a _{3} = a _{1} + a _{2} + a _{3} = 9$ $b _{4} = b _{3} + a _{4} = a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} = 16$ $b _{5} = b _{4} + a _{5} = a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5} = 25$ $b _{6} = b _{5} + a _{6} = a _{1} + a _{2} + a _{3} + a _{4} + a _{5} + a _{6} = 36$ 따라서 $\displaystyle \int _{1} ^{11} {f ( x )} dx = S _{1} + S _{2} + S _{3} + S _{4} + S _{5}$ $= ( 1 + 4 ) + ( 4 + 9 ) + ( 9 + 16 )$$+ ( 16 + 25 ) + ( 25 + 36 )$ $= 145$