공통수학1이차방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

큰 근이 다른 방정식의 근이 되는 조건

문제

$x$ 에 대한 이차방정식 $x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a = 0$ 의 두 근 중 큰 근이 이차방정식 $x ^{2} - 7 x + 12 = 0$ 의 근일 때, 모든 실수 $a$ 의 값의 합은? [4점] ① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $9$ ⑤ $12$

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③

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해설

$x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a = 0$ 에서 $( x - 2 ) ( x - a ) = 0$ 이므로 두 근은 $2 , a$ $x ^{2} - 7 x + 12 = 0$ 에서 $( x - 3 ) ( x - 4 ) = 0$ 이므로 근은 $3 , 4$ (ⅰ) $a \leq 2$ 일 때, 큰 근은 $2$ 이고 $2$ 는 $3 , 4$ 중 어느 것도 아니므로 조건에 맞지 않는다. (ⅱ) $a > 2$ 일 때, 큰 근은 $a$ 이므로 $a = 3$ 또는 $a = 4$ 따라서 모든 실수 $a$ 의 값의 합은 $3 + 4 = 7$ 이므로 답은 ③이다.

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