공통수학2원의 방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

중점이 그리는 원의 방정식 구하기

문제

좌표평면 위의 원 C:x2+y2−8x−6y+21=0C : x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 6 y + 21 = 0 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 와 점 A(−2,1)\mathrm{A} \mathit{\left( - 2 , 1 \right)} 에 대하여 선분 AP\mathrm{AP} 의 중점 M\mathrm{M} 이 나타내는 도형의 방정식이 x2+y2+ax+by+c=0x ^{2} + y ^{2} + ax + by + c = 0 이다. a+b+ca + b + c 의 값은? (단, aa, bb, cc 는 상수이다.) [4점] ①−5- 5②−3- 3③−2- 2④00⑤22

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③

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해설

원 C:x2+y2−8x−6y+21=0C : x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 6 y + 21 = 0 에서 (x−4)2+(y−3)2=4\left( x - 4 \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = 4 점 P\mathrm{P} 의 좌표를 (s,t)\left( s , t \right) 라 하면 (s−4)2+(t−3)2=4\left( s - 4 \right) ^{2} + \left( t - 3 \right) ^{2} = 4 점 M\mathrm{M} 의 좌표를 (x,y)\left( x , y \right) 라 하면 M\mathrm{M} 은 선분 AP\mathrm{AP} 의 중점이므로 x=−2+s2\displaystyle x = \frac{- 2 + s}{2}, y=1+t2\displaystyle y = \frac{1 + t}{2} 즉 s=2x+2s = 2 x + 2, t=2y−1t = 2 y - 1 이것을 위의 식에 대입하면 (2x−2)2+(2y−4)2=4\left( 2 x - 2 \right) ^{2} + \left( 2 y - 4 \right) ^{2} = 4 (x−1)2+(y−2)2=1\left( x - 1 \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 1 좌변을 전개하여 정리하면 x2+y2−2x−4y+4=0x ^{2} + y ^{2} - 2 x - 4 y + 4 = 0 a=−2a = - 2, b=−4b = - 4, c=4c = 4 따라서 a+b+c=−2a + b + c = - 2 이다. 답 ③

태그

#원의 방정식#일반형#중점#자취

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