공통수학2함수AI아주 기초 (2점~3점 초반)

주기가 2인 유리함수의 반복 합성

문제

함수 f(x)=xx−1\displaystyle f ( x ) = \frac{x}{x - 1} (x≠1)( x \ne 1 )에 대하여 f1(x)=f(x)f ^{1} ( x ) = f ( x ), fn+1(x)=f(fn(x))f ^{n + 1} ( x ) = f \left( f ^{n} ( x ) \right) (n=1,2,3,⋯ )( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )로 정의할 때, f2025(3)f ^{2025} ( 3 )의 값은? [2점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②23\displaystyle \frac{2}{3}③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤33

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③

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해설

f(3)=33−1=32\displaystyle f ( 3 ) = \frac{3}{3 - 1} = \frac{3}{2} f2(3)=f(32)=3232−1=3\displaystyle f ^{2} ( 3 ) = f \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2} - 1} = 3 f2(3)=3f ^{2} ( 3 ) = 3이므로 fn(3)f ^{n} ( 3 )의 값은 32,3\displaystyle \frac{3}{2} , 3이 이 순서로 반복된다. 실제로 f2(x)=xx−1xx−1−1=xx−11x−1=x\displaystyle f ^{2} ( x ) = \frac{\frac{x}{x - 1}}{\frac{x}{x - 1} - 1} = \frac{\frac{x}{x - 1}}{\frac{1}{x - 1}} = x이다. 20252025는 홀수이므로 f2025(3)=f(3)=32\displaystyle f ^{2025} ( 3 ) = f ( 3 ) = \frac{3}{2} 따라서 구하는 값은 32\displaystyle \frac{3}{2}이다. ③

태그

#합성함수#반복 합성#유리함수#주기

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