미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

주기 미분가능 함수

문제

두 이차함수 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 h(x)h ( x )가 0≤x<40 \leq x < 4에서 h(x)={x(0≤x<2)f(x)(2≤x<3)g(x)(3≤x<4)\displaystyle h ( x ) = \begin{cases} {} ^{} {}^{} x {} _{} {}_{} & {} ^{} {}^{} ( 0 \leq x < 2 ) {} _{} {}_{} \\ {} ^{} {}^{} f ( x ) {} _{} {}_{} & {} ^{} {}^{} ( 2 \leq x < 3 ) {} _{} {}_{} \\ {} ^{} {}^{} g ( x ) {} _{} {}_{} & {} ^{} {}^{} ( 3 \leq x < 4 ) {} _{} {}_{} \end{cases} 이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 xx에 대하여 h(x)=h(x−4)+kh ( x ) = h ( x - 4 ) + k (kk는 상수)이다. (나) 함수 h(x)h ( x )는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (다) ∫04h(x)dx=6\displaystyle \int _{0} ^{4} h ( x ) dx = 6

h(132)=qp\displaystyle h \left( \frac{13}{2} \right) = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

그림과 같은 모양이어야 한다. f(x)=a(x−52)2+b\displaystyle f ( x ) = a \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} + b 라 하면 f′(x)=2a(x−52)\displaystyle f' ( x ) = 2 a \left( x - \frac{5}{2} \right) f′(2)=2a(2−52)=−a=1\displaystyle f' ( 2 ) = 2 a \left( 2 - \frac{5}{2} \right) = - a = 1 f(2)=a(2−52)2+b=2\displaystyle f ( 2 ) = a \left( 2 - \frac{5}{2} \right) ^{2} + b = 2, b=94\displaystyle b = \frac{9}{4} 즉 f(x)=−(x−52)2+\displaystyle f ( x ) = - \left( x - \frac{5}{2} \right) ^{2} +94\displaystyle \frac{9}{4}, g(x)=(x−72)2+74\displaystyle g ( x ) = \left( x - \frac{7}{2} \right) ^{2} + \frac{7}{4} 그리고 k=2k = 2이다. h(132)=h(52)+2=f(52)+2=94+2=174\displaystyle h \left( \frac{13}{2} \right) = h \left( \frac{5}{2} \right) + 2 = f \left( \frac{5}{2} \right) + 2 = \frac{9}{4} + 2 = \frac{17}{4}, ∴\therefore 4+17=214 + 17 = 21

태그

#미분가능성#정적분#이차함수

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