조건을 만족하는 함수들의 함숫값 합

주어진 조건에 의하여 $f \circ f ( 1 ) = f ( 2 ) = 3$ $f \circ f \circ f ( 1 ) = f \circ f ( 2 ) = f ( 3 ) = 1$ 집합 $X$의 원소 $4$와 $5$가 $1 , 2 , 3 , 4 , 5$와 대응할 수 있으므로 조건을 만족하는 함수의 총 개수는 $25$개다. $f _{k} ( 3 ) = 1$이므로 구하는 값은 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{25} f _{k} ( 3 ) f _{k} ( 4 ) f _{k} ( 5 )$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{25} f _{k} ( 4 ) f _{k} ( 5 )$ $= f _{1} ( 4 ) f _{1} ( 5 ) + f _{2} ( 4 ) f _{2} ( 5 ) + \cdots + f _{25} ( 4 ) f _{25} ( 5 )$ $= 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + \cdots + 5 \cdot 5$ $= ( 1 + 2 + \cdots + 5 ) ( 1 + 2 + \cdots + 5 )$ $= 225$