조건별 점화식과 합

조건 (가)에서 $a _{21} = \left( - 1 \right) ^{20} \times a _{20} = a _{20}$ $a _{20} + a _{21} = 0$이므로 $a _{20} = a _{21} = 0$ 조건 (나)에 의해 $a _{21} = - a _{18} - 18 = 0$ $a _{18} = - 18 = - a _{15} - 15$ $a _{15} = 3 = - a _{12} - 12$ $a _{12} = - 15 = - a _{9} - 9$ $a _{9} = 6 = - a _{6} - 6$ $a _{6} = - 12 = - a _{3} - 3$ $a _{3} = 9$ $n$이 $\mathrm{3}$의 배수가 아니면서 짝수이면 $n = 6 k + 2$, $n = 6 k + 4 \left( k = 0 , 1 , 2 , \cdots \right)$ 조건 (가)에 의해 $a _{6 k + 3} = \left( - 1 \right) ^{6 k + 2} \times a _{6 k + 2} = a _{6 k + 2}$ $a _{6 k + 5} = \left( - 1 \right) ^{6 k + 4} \times a _{6 k + 4} = a _{6 k + 4}$ $n$이 $\mathrm{3}$의 배수가 아니면서 홀수이면 $n = 6 k + 1$, $n = 6 k + 5 \left( k = 0 , 1 , 2 , \cdots \right)$ 조건 (가)에 의해 $a _{6 k + 2} = \left( - 1 \right) ^{6 k + 1} \times a _{6 k + 1} = - a _{6 k + 1}$ $a _{6 k + 6} = \left( - 1 \right) ^{6 k + 5} \times a _{6 k + 5} = - a _{6 k + 5}$$a _{6 k + 1} + a _{6 k + 2} + a _{6 k + 3} + a _{6 k + 4} + a _{6 k + 5} + a _{6 k + 6}$$= a _{6 k + 1} - a _{6 k + 1} + a _{6 k + 3}$$+ a _{6 k + 4} + a _{6 k + 5} - a _{6 k + 5}$$= a _{6 k + 3} + a _{6 k + 4} \left( k = 0 , 1 , 2 , 3 , \cdots \right)$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S _{n}$이라 하면 $S _{6} = a _{3} + a _{4}$ $S _{6 k + 6} - S _{6 k} = a _{6 k + 3} + a _{6 k + 4} \left( k = 1 , 2 , 3 , \cdots \right)$ $S _{18}$$= \left( S _{18} - S _{12} \right) + \left( S _{12} - S _{6} \right) + S _{6}$$= \left( a _{15} + a _{16} \right) + \left( a _{9} + a _{10} \right) + \left( a _{3} + a _{4} \right)$ 조건 (가)에 의해 $a _{18} = - a _{17} = - a _{16} = - 18$, $a _{16} = 18$ $a _{12} = - a _{11} = - a _{10} = - 15$, $a _{10} = 15$ $a _{6} = - a _{5} = - a _{4} = - 12$, $a _{4} = 12$ 따라서 $S _{18} = 63$ [참고] $\left\{ a _{n} \right\} :$$- 9$, $9$, $9$, $12$, $12$, $- 12$, $- 6$, $6$, $6$, $15$, $15$, $- 15$, $- 3$, $3$, $3$, $18$, $18$, $- 18$, $\cdots$