공통수학1나머지정리와 인수분해AI기본 문제 (3점 중반)

조건부 등식 증명의 빈칸

문제

다음은 x+y+z=0x + y + z = 0 일 때, 등식 x3+y3+z3=3xyzx ^{3} + y ^{3} + z ^{3} = 3 xyz 가 성립함을 증명하는 과정이다.

x+y+z=0x + y + z = 0 에서 z=z = (가) 이므로 x3+y3+z3=x3+y3−(x+y)3x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} = x ^{3} + y ^{3} - ( x + y ) ^{3} =x3+y3−(x3+3x2y+3xy2+y3)= x ^{3} + y ^{3} - ( x ^{3} + 3 x ^{2} y + 3 xy ^{2} + y ^{3} ) =−= - (나) ×(x+y)\times ( x + y ) 그런데 −(x+y)=z- ( x + y ) = z 이므로 x3+y3+z3=x ^{3} + y ^{3} + z ^{3} = (나) ×z=3xyz\times z = 3 xyz

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식에 x=1x = 1, y=2y = 2 를 대입한 값을 각각 pp, qq 라 할 때, p+qp + q 의 값을 구하시오. [3점]

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3

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해설

x+y+z=0x + y + z = 0 에서 z=−(x+y)z = - ( x + y ) 이므로 (가)=−(x+y)= - ( x + y ) x3+y3−(x3+3x2y+3xy2+y3)=−3x2y−3xy2=−3xy(x+y)x ^{3} + y ^{3} - ( x ^{3} + 3 x ^{2} y + 3 xy ^{2} + y ^{3} ) = - 3 x ^{2} y - 3 xy ^{2} = - 3 xy ( x + y ) 이므로 (나)=3xy= 3 xy −3xy(x+y)=3xy⋅z=3xyz- 3 xy ( x + y ) = 3 xy \cdot z = 3 xyz 가 되어 등식이 증명된다. x=1x = 1, y=2y = 2 를 대입하면 p=−(1+2)=−3p = - ( 1 + 2 ) = - 3, q=3⋅1⋅2=6q = 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6 따라서 p+q=−3+6=3p + q = - 3 + 6 = 3

태그

#항등식#등식의 증명#곱셈공식#빈칸 추론

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