지수식 치환으로 최솟값 구하기

주어진 식으로부터 $2 ^{y} = 4 ^{x} + 6 \cdot 2 ^{x} \cdots$(1) $2 ^{x} = t$($t > 0$)로 치환하고 식 (1)을 이용하면 $2 ^{y} = t ^{2} + 6 t = t ( t + 6 ) > 0 \cdots$(2) $\therefore t > 0$ 또는 $t < - 6$ $\therefore t > 0$ ($\because t ( = 2 ^{x} ) > 0$) 그러므로 준 식$= - 10 \cdot 2 ^{x} + 2 ^{y}$ $= ( 2 ^{x} ) ^{2} - 4 \cdot ( 2 ^{x} )$ $= t ^{2} - 4 t$ $= ( t - 2 ) ^{2} - 4$ ($t > 0$) 준 식은 $t = 2$일 때 최솟값 $- 4$이다. 따라서, $t = 2 ^{x} = 2$, $\therefore x = 1$ $2 ^{y} = t ^{2} + 6 t = 4 + 12 = 16$, $\therefore y = 4$($\because$식 (2)) $\therefore x + y = 5$