지수로그 교점 넓이

[출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기 곡선 $y = a \log _{2} \left( x - a + 1 \right)$이 $x$축과 만나므로 $a \log _{2} \left( x - a + 1 \right) = 0$에서 $x = a$ 곡선 $y = 2 ^{x - a} - 1$이 $x$축과 만나므로 $2 ^{x - a} - 1 = 0$에서 $x = a$ $\therefore$ $\mathrm{A} \left( \mathit{a} , 0 \right)$ 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표를 $k$($k > 0$)라 하면 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OA}}} \times k = \frac{1}{2} \times \mathit{a} \times k = \frac{7}{2} \mathit{a}$이므로 $k = 7$ $2 ^{x - a} - 1 = 7$이므로 $x = a + 3$ $\therefore$ $\mathrm{B} \left( \mathit{a} + 3 , 7 \right)$ 점 $\mathrm{B}$는 곡선 $y = a \log _{2} \left( x - a + 1 \right)$ 위의 점이므로 $a \log _{2} \left( a + 3 - a + 1 \right) = 7$에서 $\displaystyle a = \frac{7}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{7}{2} , 0 \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{13}{2} , 7 \right)$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm{M}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{\left( 5 , \frac{7}{2} \right)}$이므로 $p = 5$, $\displaystyle q = \frac{7}{2}$ 따라서 $\displaystyle p + q = \frac{17}{2}$