대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수로그 교점 빈칸

문제

그림과 같이 11보다 큰 실수 bb에 대하여 두 함수 f(x)=bxf \left( x \right) = b ^{x}과 g(x)=−log⁡bxg \left( x \right) = - \log _{b} x의 그래프가 제11사분면에서 만나는 점 P{\mathrm{P}}의 좌표를 (α,β)\left( \alpha , \beta \right)라 하자.

다음은 αβ3=1\alpha \beta ^{3} = 1일 때, 직선 OP{\mathrm{OP}}의 기울기 mm에 대하여 g(m)g \left( m \right)의 값을 구하는 과정이다. (단, O{\mathrm{O}}는 원점이다.)

제11사분면에 있는 점 P(α,β){\mathrm{P}} \left( \alpha , \beta \right)는 두 곡선 y=f(x)y = f \left( x \right), y=g(x)y = g \left( x \right) 위의 점이므로, 두 양수 α\alpha, β\beta가 β=bα\beta = b ^{\alpha}, β=−log⁡bα\beta = - \log _{b} \alpha 를 만족시킨다. αβ3=1\alpha \beta ^{3} = 1이고 α=log⁡bβ\alpha = \log _{b} \beta, β=−log⁡bα\beta = - \log _{b} \alpha이므로 3α−β=3log⁡bβ+log⁡bα=log⁡b(αβ3)=03 \alpha - \beta = 3 \log _{b} \beta + \log _{b} \alpha = \log _{b} \left( \alpha \beta ^{3} \right) = 0 이다. 그러므로 m=βα=□(가)\displaystyle m = \frac{\beta}{\alpha} = {\square {\left( \text{가} \right)}}이다. β4=mαβ3=m\beta ^{4} = m \alpha \beta ^{3} = m이므로 β=□(나)\beta = \square {\left( \text{나} \right)}이다. b=α−1β\displaystyle b = \alpha ^{- \frac{1}{\beta}}이고 α=βm\displaystyle \alpha = \frac{\beta}{m}이므로 g(m)=−log⁡bm=βlog⁡mα=β−1+log⁡mβ=□(다)\displaystyle g \left( m \right) = - \log _{b} m = \frac{\beta}{\log _{m} \alpha} = \frac{\beta}{- 1 + \log _{m} \beta} = \square {\left( \text{다} \right)} 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq, rr이라 할 때, (p×q×r)2\left( p \times q \times r \right) ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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48

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해설

제11사분면에 있는 점 P(α,β){\mathrm{P}} \left( \alpha , \beta \right)는 두 곡선 y=f(x)y = f \left( x \right), y=g(x)y = g \left( x \right) 위의 점이므로 두 양수 α\alpha, β\beta가 β=bα\beta = b ^{\alpha}, β=−log⁡bα\beta = - \log _{b} \alpha 를 만족시킨다. αβ3=1\alpha \beta ^{3} = 1이고 α=log⁡bβ\alpha = \log _{b} \beta, β=−log⁡bα\beta = - \log _{b} \alpha이므로 3α−β=3log⁡bβ+log⁡bα=log⁡b(αβ3)=03 \alpha - \beta = 3 \log _{b} \beta + \log _{b} \alpha = \log _{b} \left( \alpha \beta ^{3} \right) = 0 이다. 그러므로 m=βα=□3\displaystyle m = \frac{\beta}{\alpha} = \square {3}이다. β4=mαβ3\beta ^{4} = m \alpha \beta ^{3}=m= m이므로 β=□314\displaystyle \beta = \square {3 ^{\frac{1}{4}}}이다. b=α−1β\displaystyle b = \alpha ^{- \frac{1}{\beta}}이고 α=βm\displaystyle \alpha = \frac{\beta}{m}이므로 g(m)g \left( m \right)=−log⁡bm= - \log _{b} m=βlog⁡mα\displaystyle = \frac{\beta}{\log _{m} \alpha}=β−1+log⁡mβ\displaystyle = \frac{\beta}{- 1 + \log _{m} \beta} =314−1+log⁡3314\displaystyle = {\frac{3 ^{\frac{1}{4}}}{- 1 + \log _{3} 3 ^{\frac{1}{4}}}} =□−43×314\displaystyle = \square {- \frac{4}{3} \times 3 ^{\frac{1}{4}}} 이다. ∴\therefore(가) 33 (나) 314\displaystyle 3 ^{\frac{1}{4}} (다) −43×314\displaystyle - \frac{4}{3} \times 3 ^{\frac{1}{4}} 즉 p=3p = 3, q=314\displaystyle q = 3 ^{\frac{1}{4}}, r=−43×314\displaystyle r = - \frac{4}{3} \times 3 ^{\frac{1}{4}}이므로 (p×q×r)2\left( p \times q \times r \right) ^{2}={3×314×(−43×314)}2\displaystyle = \left\{ 3 \times 3 ^{\frac{1}{4}} \times \left( - \frac{4}{3} \times 3 ^{\frac{1}{4}} \right) \right\} ^{2} =(−4×312)2\displaystyle = \left( - 4 \times 3 ^{\frac{1}{2}} \right) ^{2}=16×3= 16 \times 3=48= 48

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#빈칸 추론#지수함수#로그함수

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