지수로그 구간함수 교점

출제의도 : 지수함수, 로그함수를 활 용하여 문제를 해결할 수 있는가? 함수 $\displaystyle y = 3 ^{\frac{1}{6} ( x + a )} - a$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = 3 ^{\frac{1}{6} x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- a$, $y$축의 방향으로 $- a$만큼 평행이동 한 것이므로 직선 $y = x$와 만나는 두 점 사이의 거리가 변하지 않는다. 또, 함수 $\displaystyle y = 3 ^{\frac{1}{6} ( x + a + b )} - a$의 그래프는 함수 $\displaystyle y = 3 ^{\frac{1}{6} ( x + a )} - a$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $- b$만큼 평행이동한 것이고, 함 수 $y = 6 \log _{3} x - b$의 그래프는 함수 $y = 6 \log _{3} x$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $- b$만큼 평행이동한 것이다. 이때 두 함 수 $\displaystyle y = 3 ^{\frac{1}{6} x}$와 $y = 6 \log _{3} x$는 서로 역함수 관계이므로 두 함수 $\displaystyle y = 3 ^{\frac{1}{6} ( x + a + b )} - a$, $y = 6 \log _{3} x - b$의 그래프가 각각 직선 $y = x$와 서로 다른 두 점에서 만나는 경 우 두 교점 사이의 거리가 같다. 한편, 조건 (나)에 의하여 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 원점을 지나야 하므로 $f ( 0 ) = 0$ $\displaystyle 3 ^{\frac{a + b}{6}} - a = 0$ $\displaystyle 3 ^{\frac{a + b}{6}} = a$ ----㉠ 즉, $a > 0$이고 ㉠에 의하여 $\displaystyle 6 \log _{3} a - b = 6 \times \frac{a + b}{6} - b = a$ 이므로 곡선 $y = 6 \log _{3} x - b$는 점 $( a , a )$를 지난다. 이때, 함수 $y = f ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

위 그림과 같이 $x < 0$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 선 $y = x$와 만나는 점을 ${\mathrm{A}}$, $x > 0$에서 함수 $y = f ( x )$의 그래프가 직선 $y = x$와 만나는 점을 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$라 하자. (ⅰ) $c < 0 < a < b$인 경우 조건 (나)에 의하여 $c = - 2 b$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = \overline{\mathrm{BC}}$이므로 $2 b = b - a$ 에서 $a = - b$ 이것은 $0 < a < b$를 만족시키지 않는다. ( ⅱ ) $c < 0 < b < a$인 경우 조건 (나)에 의하여 $c = - 2 b$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = \overline{\mathrm{BC}}$이므로 $2 b = a - b$ $a = 3 b$ ㉠에서 $\displaystyle 3 ^{\frac{3 b + b}{6}} = 3 b$ 이므로 $\displaystyle 3 ^{\frac{2}{3} b} = 3 b$ ---㉡ 또, 곡선 $y = 6 \log _{3} x - b$가 점 $( b , b )$를 지나므로 $b = 6 \log _{3} b - b$ $\displaystyle \log _{3} b = \frac{1}{3} b$ $\displaystyle 3 ^{\frac{1}{3} b} = b$ ---㉢ ㉡, ㉢에서 $3 b = b ^{2}$ $b > 0$이므로 $b = 3$이고 이것은 ㉡, ㉢을 만족시킨다. 이때 $a = 3 b = 9$ (iii) $b < 0 < a < c$인 경우 조건 (나)에 의하여 $c = - 2 b$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = \overline{\mathrm{BC}}$이므로 $- 2 b - a = - b$ $a = - b$ 그런데, 곡선 $\displaystyle y = 3 ^{\frac{1}{6} ( x + a + b )} - a$는 직선 $y = - a$를 점근선으로 가지므로 $b > - a$이 어야 한다. $a = - b$는 이것을 만족시키지 않는다. (iv) $b < 0 < c < a$인 경우 조건 (나)에 의하여 $c = - 2 b$ 이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = \overline{\mathrm{BC}}$이므로 $a + 2 b = - b$ $a = - 3 b$ ㉠에서 $\displaystyle 3 ^{\frac{- 3 b + b}{6}} = - 3 b$ 이므로 $\displaystyle 3 ^{- \frac{1}{3} b} = - 3 b$---㉣ 또, 곡선 $y = 6 \log _{3} x - b$가 점 $( - 2 b , - 2 b )$를 지나므로 $- 2 b = 6 \log _{3} ( - 2 b ) - b$ $\displaystyle \log _{3} ( - 2 b ) = - \frac{1}{6} b$ $\displaystyle 3 ^{- \frac{1}{6} b} = - 2 b$ ----㉤ ㉣, ㉤에서 $- 3 b = 4 b ^{2}$ $b < 0$이므로 $\displaystyle b = - \frac{3}{4}$ 그런데 이것은 ㉣, ㉤을 만족시키지 않 는다. 즉, 조건을 만족시키는 $a$, $b$의 값이 존재하지 않는다. (i) ~ (iv)에 의하여 $a = 9$, $b = 3$ 이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 81 + 9 = 90$